Bài 8: Ứng dụng tích có hướng tính thể tích

GIỚI THIỆU BÀI HỌC

NỘI DUNG BÀI HỌC

I. Lý thuyết 

1. Thể tích khối hộp ABCD.A'B'C'D' là 

(V_{ABCD.A'B'C'D'}=left | left [ overrightarrow{AB}; overrightarrow{AC} right ]. overrightarrow{AA'}right |= left | left [ overrightarrow{AB}; overrightarrow{AD} right ].overrightarrow{AA'} right |)

2. Thể tích khối tứ diện ABCD.

(V_{ABCD}=frac{1}{6}left | left [ overrightarrow{AB};overrightarrow{AC} right ] . overrightarrow{AD} right |)



II. Bài tập 

VD1: Tính thể tích của khối tứ diện ABCD A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1), D(-2;1;0)

Giải

(overrightarrow{AB}=(-1;1;0))

(overrightarrow{AB}=(-1;0;1))

(left [ overrightarrow{AB}; overrightarrow{AC} right ]= left ( begin{vmatrix} 1 0\ 0 1 end{vmatrix}; begin{vmatrix} 0 -1\ 1 -1 end{vmatrix}; begin{vmatrix} -1 1\ -1 0 end{vmatrix} right )=(1;1;1))

(overrightarrow{AD}=(-3;1;0))

(V_{ABCD}=frac{1}{6}left | left [ overrightarrow{AB};overrightarrow{AC} .overrightarrow{AD}right ] right |=frac{1}{6}left | -+84888672676 right |= frac{2}{6}=frac{1}{3})

b) Tính độ dài đường cao kẻ từ D của khối tứ diện ABCD.

Kẻ đường cao DH

(DH=frac{3V_{D.ABC}}{S_{Delta ABC}}=frac{3V_{ABCD}}{S_{ ABC}})

(=frac{1}{frac{1}{2}left | left [ overrightarrow{AB}; overrightarrow{AC} right ] right |}=frac{2}{sqrt{1^2+1^2+1^2}}=frac{2}{sqrt{3}})

VD2: Trong không gian với hệ tọa độ Đềcac Oxyz, cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thoi, AC cắt BD tại gốc tọa độ O. A(2;0;0), B(0;1;0), S(0;0; (2sqrt{2})). M là trung điểm SC. Mp(ABM) cắt SD tại N. Tính V_SABMN

Giải



(O=ACcap BD) nên O là trung điểm AC

(left{begin{matrix} x_C=2x_0-x_A=-2\ y_C=2y_0-y_A=0\ z_C=2z_0-z_A=0 end{matrix}right.)

C(-2;0;0)

M là trung điểm SC nên (M(-1;0;sqrt{2}))

O là trung điểm BD nên

(left{begin{matrix} x_D=2x_0-x_B=0\ y_D=2y_0-y_B=-1\ z_D=2z_0-z_B=0 end{matrix}right.Rightarrow D(0;-1;0))

AB // CD nên gt (ABM) với (SCD) là đường thẳng qua M và song song CD.

Mặt khác M là trung điểm SC nên N là trung điểm SD. Do đó (Nleft ( 0;-frac{1}{2};sqrt{2} right ))

(V_{S.ABMN}=V_{S.AMB}+V_{S.AMN})

(overrightarrow{SA}=(2;0;-2sqrt{2}))

(overrightarrow{SM}=(-1;0;-sqrt{2}))

(left [ overrightarrow{SA};overrightarrow{SM} right ] =left ( begin{vmatrix} 0 -2sqrt{2}\ 0 -sqrt{2} end{vmatrix}; begin{vmatrix} -2sqrt{2} 2\ -sqrt{2} -1 end{vmatrix};begin{vmatrix} 2 0\ -1 0 end{vmatrix} right )=(0;4sqrt{2};0))

(overrightarrow{SB}=(0;1;-2sqrt{2}), overrightarrow{SN}=(0;-frac{1}{2};-sqrt{2}))

(V_{SAMB}=frac{1}{6}left | left [ overrightarrow{SA}; overrightarrow{SM}.overrightarrow{SB} right ] right | = frac{1}{6}left | 0.0+4sqrt{2}+0.(-2sqrt{2}) right |=frac{2}{3}sqrt{2})

(V_{SAMN}=frac{1}{6}left | left [ overrightarrow{SA}; overrightarrow{SM}.overrightarrow{SN} right ] right | = frac{1}{6}left | 0.0+4sqrt{2}.(-frac{1}{2})+0.(-sqrt{2}) right |=frac{sqrt{2}}{3})

(V_{SABMN}=V_{SAMB}+V_{SAMN}=frac{2}{3}sqrt{2}+frac{1}{3}sqrt{2}=sqrt{2})

Lời đầu tiên, HOC247 xin cảm ơn các em học sinh đã tin tưởng và đồng hành cùng website hoc247.vn trong suốt thời gian vừa qua.

Vì mong muốn tạo điều kiện cho các em học sinh trên cả nước có thể tham gia học tập Online hoàn toàn miễn phí nên HOC247 chuyển toàn bộ các khoá học thu phí trên webiste hoc247.vn sang App HOC247 học miễn phí trên nền tảng iOS và Android.

Các em hãy cài đặt ngay App HOC247 để học tập hoàn toàn miễn phí các khoá học và luyện tập thư viện đề thi trắc nghiệm THPT QG.