Or you want a quick look: 1. Nguyên tắc chung để giải phương trình, bất phương trình chứa căn bậc 2
Các dạng phương trình chứa căn bậc hai, bất phương trình chứa căn thức bậc hai luôn là một dạng toán xuất hiện nhiều trong các kì thi học kì, thi tuyển sinh vào lớp 10, thi THPTQG. Để giải được phương trình, bất phương trình chứa căn, các em học sinh cần nắm vững kiến thức sau: Nguyên tắc chung để khử dấu căn thức là bình phương 2 vế của một phương trình, bất phương trình. Tuy nhiên, để đảm bảo việc bình phương này cho chúng ta một phương trình, bất phương trình mới tương đương thì cần phải có điều kiện cả 2 vế pt, bpt đều không âm. Do đó, về bản chất, chúng ta lần lượt kiểm tra 2 trường hợp âm, và không âm của các biểu thức (thường là 1 vế của phương trình, bất phương trình đã cho). Nếu bài viết hữu ích, bạn có thể ủng hộ chúng tôi bằng cách bấm vào các banner quảng cáo hoặc tặng tôi 1 cốc cafe https://nhantien.momo.vn/N4Gx9kYn4D2 Xin cảm ơn! Có khoảng 4 dạng phương trình chứa căn, bất phương trình chứa căn cơ bản đó là Chi tiết về phương pháp giải các dạng phương trình, bất phương trình chứa căn, xin mời thầy cô và các em học sinh theo dõi trong video sau đây. Ví dụ 1. Giải phương trình $$sqrt {4 + 2x – {x^2}} = x – 2$$ Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với [begin{array}{l} Ví dụ 2. Giải phương trình [sqrt {25 – {x^2}} = x – 1] Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với [begin{array}{l} Ví dụ 3. Giải phương trình [sqrt {3{x^2} – 9x + 1} + 2 = x] Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với [begin{array}{l} Ví dụ 4. Giải phương trình $$sqrt {{x^2} – 3x + 2} = x – 1$$ Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với $$begin{array}{l} Ví dụ 5. Giải phương trình $$sqrt {{x^2} – 5x + 4} = sqrt { – 2{x^2} – 3x + 12} $$ Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với $$begin{array}{l} Ví dụ 6. Giải bất phương trình $$x + 1 ge sqrt {2left( {{x^2} – 1} right)} $$ Hướng dẫn. Bất phương trình đã cho tương đương với $$begin{array}{l} Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = left[ {1;3} right] cup left{ { – 1} right}$. Ví dụ 7. Giải bất phương trình $$2x – 5 < sqrt { – {x^2} + 4x – 3} $$ Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với $$left[ begin{array}{l} Lấy hợp tập nghiệm của 2 trường hợp trên, được đáp số cuối cùng là $S = left[ {1;frac{{14}}{5}} right)$. Ví dụ 8. Giải phương trình $$sqrt {x + 4} – sqrt {1 – x} = sqrt {1 – 2x} $$ Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với $$begin{array}{l} Ví dụ 9. Giải phương trình $$sqrt {3x + 1} – sqrt {2x – 1} = sqrt {6 – x} $$ Hướng dẫn. Điều kiện $left{ begin{align} & 3x+1ge 0 \ & 2x-1ge 0 \ & 6-xge 0 \ end{align} right.Leftrightarrow left{ frac{1}{2}le xle 6 right.$ Với điều kiện đó, phương trình đã cho tương đương với $$begin{array}{l} Ví dụ 10. Giải bất phương trình $$2sqrt{x-3}-frac{1}{2}sqrt{9-2x}ge frac{3}{2}$$ Hướng dẫn. Điều kiện $left{ begin{align} & x-3ge 0 \ & 9-2xle 0 \ end{align} right.Leftrightarrow 3le xle frac{9}{2}$ Với điều kiện trên, bất phương trình đã cho tương đương với [begin{array}{l} Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là $S=left[ 4;,frac{9}{2} right]$. Xem các ví dụ khác nữa tại dây: Phương pháp biến đổi tương đương giải phương trình chứa căn Post Views: 89,866
1. Nguyên tắc chung để giải phương trình, bất phương trình chứa căn bậc 2
2. Các dạng phương trình chứa căn, bất phương trình chứa căn cơ bản
3. Cách giải phương trình chứa căn, cách giải bất phương trình chứa căn
4. Một số ví dụ về phương trình và bất phương trình chứa căn thức
,,,,,,,left{ begin{array}{l}
x – 2 ge 0\
4 + 2x – {x^2} = {(x – 2)^2}
end{array} right.\
Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x ge 2\
{x^2} – 3x = 0
end{array} right.\
Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x ge 2\
x = 0, vee ,x = 3
end{array} right. \ Leftrightarrow x = 3
end{array}] Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = 3$.
,,,,,,,left{ begin{array}{l}
x – 1 ge 0\
25 – {x^2} = {(x – 1)^2}
end{array} right.\
Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x ge 1\
2{x^2} – 2x – 24 = 0
end{array} right.\
Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x ge 1\
x = 4, vee ,x = – 3
end{array} right. \ Leftrightarrow x = 4
end{array}] Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=4$.
,,,,,,,,sqrt {3{x^2} – 9x + 1} = x – 2\
, Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x – 2 ge 0\
3{x^2} – 9x + 1 = {(x – 2)^2}
end{array} right.\
Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x ge 2\
2{x^2} – 5x – 3 = 0
end{array} right.\
Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x ge 2\
x = 3 vee ,x = – frac{1}{2}
end{array} right. \ Leftrightarrow x = 3
end{array}] Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = 3$.
,,,,,,,left{ begin{array}{l}
x – 1 ge 0\
{x^2} – 3x + 2 = {left( {x – 1} right)^2}
end{array} right.\
Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x ge 1\
x = 1
end{array} right. \ Leftrightarrow x = 1
end{array}$$ Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = 1$.
,,,,,,,left{ begin{array}{l}
{x^2} – 5x + 4 ge 0\
{x^2} – 5x + 4 = – 2{x^2} – 3x + 12
end{array} right.\
Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
left( {x – 1} right)left( {x – 4} right) ge 0\
3{x^2} – 2x – 8 = 0
end{array} right. & \
Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
left[ begin{array}{l}
x le 1\
x ge 4
end{array} right.\
left[ begin{array}{l}
x = 2\
x = frac{{ – 8}}{6}
end{array} right.
end{array} right. Leftrightarrow x = frac{{ – 8}}{6}
end{array}$$ Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = frac{-8}{6}$.
,,,,,,,left{ begin{array}{l}
x + 1 ge 0\
{left( {x + 1} right)^2} ge 2left( {{x^2} – 1} right) ge 0
end{array} right.\
Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x ge – 1\
{x^2} – 2x – 3 le 0\
{x^2} – 1 ge 0
end{array} right.\
Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x ge – 1\
– 1 le x le 3\
left[ begin{array}{l}
x le – 1\
x ge 1
end{array} right.
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = – 1\
1 le x le 3
end{array} right.
end{array}$$
left{ begin{array}{l}
2x – 5 < 0\
– {x^2} + 4x – 3 ge 0
end{array} right. & left( 1 right)\
left{ begin{array}{l}
2x – 5 ge 0\
{left( {2x – 5} right)^2} < – {x^2} + 4x – 3
end{array} right. & left( 2 right)
end{array} right.$$
x < frac{5}{2}\
1 le x le 3
end{array} right. Leftrightarrow 1 le x < frac{5}{2}$$
,,,,,,,left{ begin{array}{l}
x ge frac{5}{2}\
5{x^2} – 24x + 28 < 0
end{array} right.\
Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x ge frac{5}{2}\
2 < x < frac{{14}}{5}
end{array} right. Leftrightarrow frac{5}{2} le x < frac{{14}}{4}
end{array}$$
,,,,,,,sqrt {x + 4} = sqrt {1 – 2x} + sqrt {1 – x} \
Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
– 4 le x le frac{1}{2}\
x + 4 = 1 – x + 2sqrt {(1 – x)(1 – 2x)} + 1 – 2x
end{array} right.\
Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
– 4 le x le frac{1}{2}\
sqrt {(1 – x)(1 – 2x)} = 2x + 1
end{array} right.\
Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
– 4 le x le frac{1}{2}\
x ge – frac{1}{2}\
(1 – x)(1 – 2x) = 4{x^2} + 4x + 1
end{array} right.\
Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
– frac{1}{2} le x le frac{1}{2}\
x = 0 vee x = – frac{7}{2}
end{array} right. Leftrightarrow x = 0
end{array}$$ Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = 0$.
,,,,,,,sqrt {3x + 1} – sqrt {2x – 1} = sqrt {6 – x} \
Leftrightarrow ,,,sqrt {3x + 1} = sqrt {6 – x} + sqrt {2x – 1} \
Leftrightarrow ,,,3x + 1 = 6 – x + 2x – 1 + 2sqrt {6 – x} sqrt {2x – 1} \
Leftrightarrow ,,,2x – 4 = 2sqrt {6 – x} sqrt {2x – 1} \
Leftrightarrow ,,x – 2 = sqrt {6 – x} sqrt {2x – 1} \
Leftrightarrow ,,{x^2} – 4x + 4 = – 2{x^2} + 13x – 6,,,(x ge 2)\
Leftrightarrow ,,3{x^2} – 17x + 10 = 0\
Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 5\
x = frac{2}{3}left( l right)
end{array} right.
end{array}.$$ Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=5$.
,,,,,,,2sqrt {x – 3} ge frac{1}{2}sqrt {9 – 2x} + frac{3}{2}\
Leftrightarrow 4left( {x – 3} right) ge frac{1}{4}left( {9 – 2x} right) + frac{9}{4} + frac{3}{2}sqrt {9 – 2x} \
Leftrightarrow 16x – 48 ge 18 – 2x + 6sqrt {9 – 2x} \
Leftrightarrow 9x – 33 ge 3sqrt {9 – 2x} \
Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
18x – 64 ge 0\
{left( {9x – 33} right)^2} ge 9left( {9 – 2x} right)
end{array} right.\
Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x ge frac{{32}}{9}\
81{x^2} – 576x + 1008 ge 0
end{array} right.\
Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x ge frac{{32}}{9}\
left[ begin{array}{l}
x le frac{{28}}{9}\
x ge 4
end{array} right.
end{array} right. Leftrightarrow x ge 4
end{array}]
