Công thức nguyên hàm – Một số phương pháp tìm nguyên hàm | Traloitructuyen.com

Or you want a quick look: Nguyên hàm và tính chất

 

Công thức nguyên hàm - Một số phương pháp tìm nguyên hàm

Công thức nguyên hàm - Một số phương pháp tìm nguyên hàm

Công thức nguyên hàm không thể thiếu trong bộ môn giải tích lớp 12, cũng là một trong những khái niệm xuất hiện khá nhiều trong đề thi đại học. Ở bài viết trước traloitructuyen.com đã chia sẻ công thức lượng giác. Ở bài viết này chúng tôi sẽ tiếp tục chia sẻ bảng công thức nguyên hàm cơ bản, từng phần, mở rộng, nâng cao.
  • công thức nguyên hàm 1/x^2
  • Chúng minh công thức nguyên hàm nâng cao
  • công thức nguyên hàm ln(u)
  • Công thức đạo hàm
  • Công thức nguyên hàm từng phần
  • Chứng minh công thức nguyên hàm

Nguyên hàm và tính chất

Nguyên hàm và tính chất

Nguyên hàm và tính chất

Khái niệm nguyên hàm

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của R. Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F′(x)=f(x) với mọi x∈K. Định lý 1: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x)=F(x)+C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K. Định lý 2: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x)+C với C là một hằng số tùy ý. Kí hiệu họ nguyên hàm của hàm số f(x) là ∫f(x)dx. Khi đó : 
READ  Tả nghệ sĩ hài mà em yêu thích (18 mẫu)

Tính chất nguyên hàm

Tính chất 1∫f′(x)dx=f(x)+C,C∈R. Tính chất 2∫fk(x)dx=k∫f(x)dx (với k là hằng số khác 0). Tính chất 3∫(f(x)±g(x))dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx.

Sự tồn tại của nguyên hàm

Định lí 3: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp thương gặp: ∫kdx=kx+C,k∈R ∫xαdx=11+α.xα+1+C(α≠–1) ∫dxx=ln⁡|x|+C ∫dxx=2x+C ∫exdx=ex+C ∫axdx=axln⁡a+C(0<a≠1) ∫cos⁡xdx=sin⁡x+C ∫sin⁡xdx=–cos⁡x+C ∫dxcos2x=tan⁡x+C ∫dxsin2x=–cot⁡x+C

Ngoài ra còn có một số công thức thường gặp khác:

∫(ax+b)kdx=1a(ax+b)k+1k+1+C,(a≠0,k≠–1)

Một số phương pháp tìm nguyên hàm

Một số phương pháp tìm nguyên hàm

Một số phương pháp tìm nguyên hàm

Phương pháp đổi biến

Đổi biến dạng 1

    a. Định nghĩa. Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y = f(u) liên tục sao cho f[u(x)] xác định trên K. Khi đó, nếu F là một nguyên hàm của f, tức là: ∫ f(u)du = F(u) + C thì: ∫ f[u(x)]u'(x)dx = F[u(x)] + C     b. Phương pháp giải Bước 1: Chọn t = φ(x). Trong đó φ(x) là hàm số mà ta chọn thích hợp. Bước 2: Tính vi phân hai vế: dt = φ'(t)dt. Bước 3: Biểu thị: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt. Bước 4: Khi đó: I = ∫ f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.

Phương pháp đổi biến loại 2

    a. Định nghĩa: Cho hàm số f(x) liên tục trên K; x = φ(t) là một hàm số xác định, liên tục trên K và có đạo hàm là φ'(t). Khi đó, ta có: ∫ f(x)dx = ∫ f[φ(t)].φ'(t)dt b. Phương pháp chung Bước 1: Chọn x = φ( t), trong đó φ(t) là hàm số mà ta chọn thích hợp. Bước 2: Lấy vi phân hai vế: dx = φ'(t)dt. Bước 3: Biến đổi: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt. Bước 4: Khi đó tính: ∫ f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C. c. Các dấu hiệu đổi biến thường gặp

Phương pháp nguyên hàm từng phần

a. Định lí Nếu u(x), v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K: ∫u(x).v'(x)dx = u(x).v(x) – ∫v(x).u'(x)dx Hay ∫udv = uv – ∫vdu (với du = u'(x)dx, dv = v'(x)dx) b. Phương pháp chung Bước 1: Ta biến đổi tích phân ban đầu về dạng: I = ∫ f(x)dx = ∫ f1(x).f2(x)dx Bước 2: Đặt:
READ  Bài Thu Hoạch Nghị Quyết Trung Ương 4 Khóa 12 Của Đảng Viên Mới Nhất – Nghị Quyết Trung Ương
c. Các dạng thường gặp Dạng 1
Dạng 2
Dạng 3
sau đó thay vào I.

Những điểm sai thường gặp khi giải toán liên quan đến bảng nguyên hàm

Những điểm sai thường gặp khi giải toán liên quan đến bảng nguyên hàm

Những điểm sai thường gặp khi giải toán liên quan đến bảng nguyên hàm

Đa số khi giải dạng đề này các bạn thường mắc phải các sai lầm như: – Hiểu sai bản chất công thức – Cẩu thả, dẫn đến tính sai nguyên hàm – Không nắm vững định nghĩa về nguyên hàm, tích phân – Đổi biến số nhưng quên đổi cận – Đổi biến không tính vi phân – Không nắm vững phương pháp nguyên hàm từng phần Dưới đây sẽ là một số lỗi sai cụ thể mà người giải đề thường xuyên gặp phải khi giải các đề toán liên quan đến bảng nguyên hàm. Các bạn hãy cùng theo dõi để tránh mắc phải tương tự nhé!
  • Nhớ nhầm công thức của nguyên hàm
Nguyên nhân: nền tảng của nguyên hàm là đạo hàm. Tức là muốn giải được nguyên hàm trước tiên bạn cần học hoặc tìm hiểu về đạo hàm trước đã. Và cũng vì thế mà khi chưa hiểu rõ được bản chất của hai định nghĩa này bạn có thể dễ bị nhầm lẫn giữa cả hai, nhầm công thức này qua công thức kia. Khắc phục: học vững bảng nguyên hàm cơ bản, luyện tập thói quen kiểm tra công thức: lấy đạo hàm của nguyên hàm tìm được xem có bằng số đề cho hay không.
  • Không vận dụng đúng định nghĩa tích phân
Khắc phục: đọc và nắm kỹ định nghĩa tích phân. Tạo thói quen khi tính ∫f(x)dx nhớ chú ý kiểm tra xem hàm số y = f(x) có liên tục trên đoạn hay không. Lưu ý đặc biệt, nếu hàm số không liên tục trên đoạn thì nghĩa là tích phân đó không tồn tại!
  • Nhớ nhầm tính chất tích phân nguyên hàm
Nguyên nhân: thay vì sử dụng công thức tích phân từng phần thì có nhiều bạn thường tự sáng tạo ra quy tắc nguyên hàm của một tích. Lỗi sai này rất nghiêm trọng nhưng cũng rất phổ biến.
READ  Công thức nghiệm của phương trình bậc hai | Traloitructuyen.com
Khắc phục: một lần nữa đọc lại và nắm vững tính chất của nguyên hàm và tích phân
  • Vận dụng sai công thức nguyên hàm
Nguyên nhân: vì dạng đề và công thức bảng nguyên hàm rất nhiều nên nhiều trường hợp các bạn áp dụng sai công thức, hoặc nhớ nhầm từ công thức này sang công thức kia Khắc phục: cẩn thận và tỉ mỉ là một yếu tố cực kỳ cần thiết dành cho môn toán, tại vì nhiều khi chỉ cần sai một con số nhỏ hoặc một công thức nhỏ trong bảng nguyên hàm nói riêng cũng như trong bài toán nói chung thì mọi kết quả sẽ trở nên công cốc. Vì thế một lần nữa lời khuyên dành cho cách khắc phục các lỗi sai này là học thuộc vững bảng nguyên hàm và các công thức nguyên hàm cơ bản. Hiểu đúng dạng đề để tránh sử dụng sai công thức. Tính toán, áp số cẩn trọng, tránh những sai xót vặt vãnh. Một số từ khóa tìm kiếm liên quan:
  • công thức nguyên hàm 1/x^2
  • Chúng minh công thức nguyên hàm nâng cao
  • công thức nguyên hàm ln(u)
  • Công thức đạo hàm
  • Công thức nguyên hàm từng phần
  • Chứng minh công thức nguyên hàm
∫1ax+bdx=1aln⁡|ax+b|+C,a≠0 ∫eax+bdx=1aeax+b+C ∫cos(ax+b)dx=1asin⁡(ax+b)+C

Các phương pháp tính nguyên hàm

Phương pháp đổi biến số

Định lí 1: Cơ sở của phương pháp đổi biến số là định lý sau: Cho hàm số u=u(x) có đạo hàm và liên tục trên K và hàm số y=f(u) liên tục sao cho f[u(x)] xác định trên K. Khi đó nếu F là một nguyên hàm của f, tức là ∫f(u)du=F(u)+C thì ∫f[u(x)]dx=F[u(x)]+C. Hệ quả: Với u=ax+b(a≠0), ta có: ∫f(ax+b)dx=1aF(ax+b)+C

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần

Định lí 2: Nếu hai hàm số u=u(x) và v=v(x) có đạo hàm và liên tục trên K thì: ∫u(x)v′(x)dx=u(x)v(x)–∫u′(x)v(x)dx

Một số dạng thường gặp

Dạng 1∫P(x).eax+bdx,∫P(x)sin⁡(ax+b)dx,∫P(x)cos(ax+b)dx Cách giải: Đặt u=P(x),dv=eax+bdx hoặc dv=sin⁡(ax+b)dx,dv=cos⁡(ax+b)dx. Dạng 2∫P(x)ln⁡(ax+b)dx Cách giải: Đặt u=ln⁡(ax+b),dv=P(x)dx.

Bảng công thức nguyên hàm

Công thức nguyên hàm cơ bản

Công thức nguyên hàm cơ bản

Công thức nguyên hàm cơ bản

Công thức nguyên hàm mở rộng

Công thức nguyên hàm mở rộng

Công thức nguyên hàm mở rộng

Công thức nguyên hàm từng phần:

Công thức nguyên hàm từng phần

Công thức nguyên hàm từng phần

Công thức nguyên hàm nâng cao:

Công thức nguyên hàm nâng cao

Công thức nguyên hàm nâng cao

Trên đây là bảng công thức nguyên hàm cơ bản, mở rộng, nâng cao mà chúng tôi tổng hợp giúp bạn nắm bắt kiến thức mới cũng như hệ thống lại kiến thức cũ tốt nhất. Nếu bạn còn câu hỏi hãy đặt ở bên dưới nhé.
See more articles in the category: Học tập