Công thức nghiệm của phương trình bậc hai | Traloitructuyen.com

You are viewing the article: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai | Traloitructuyen.com at Traloitructuyen.com

Or you want a quick look: 1. Định nghĩa phương trình bậc 2

Traloitructuyen.com cũng giúp giải đáp những vấn đề sau đây:

công thức nghiệm của phương trình bậc 2
Việt công thức nghiệm của phương trình bậc 2
Viết công thức nghiệm của phương trình bậc 2
Chứng minh công thức nghiệm của phương trình bậc 2
công thức nghiệm của phương trình bậc 2 b'
Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc 2
Công thức nghiệm của phương trình bậc 3
Chuyên đề công thức nghiệm của phương trình bậc 2

Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Giải phương trình, tìm điều kiện về nghiệm của phương trình bậc hai là một nội dung quan trọng trong chương trình THCS, nhất là bồi dưỡng toán 9.

Các em cần phải nắm được các kiến thức về công thức nghiệm của PT bậc 2, Định lý Vi-ét các kiến thức có liên quan, các em cần có sự say mê, hứng thú với loại này và có điều kiện tiếp cận với nhiều dạng bài tập điển hình.Các phương pháp tìm điều kiện về nghiệm của phương trình là :” Phương pháp so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với số 0” ;” Phương pháp so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với 1 số bất kỳ ”; “so sánh nghiệm của phương trình quy về phương trình bậc 2 ”.

Chúng minh công thức nghiệm của phương trình bậc 2
Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai
Công thức nghiệm của phương trình bậc 2
Bài tập về công thức nghiệm của phương trình bậc hai
Công thức nghiệm phương trình bậc 2
Giáo án công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Mời các em xem lại công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

https://youtu.be/LiyEX9pegVg

1. Định nghĩa phương trình bậc 2

+) Phương trình bậc hai một ẩn (hay gọi tắt là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng:

ax² + bx +c = 0 (a ≠ 0)

Trong đó a, b, c là các số thực cho trước, x là ẩn số.

READ Công thức lãi kép trong bài toán lãi suất ngân hàng (tích lũy, trả góp) | Toán Học Việt Nam

+) Giải phương trình bậc hai một ẩn là đi tìm tập nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn đó.

2. Công thức nghiệm phương trình bậc 2

Đối với phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) và biệt thức Δ = b² - 4ac

+ Nếu Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ và $x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$

+ Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép là $x_1=x_2=\frac{-b}{2a}$

+ Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

Chú ý: Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a và c trái dấu, tức là ac < 0. Khi đó ta có Δ = b² - 4ac > 0 ⇒ Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

3. Các dạng toán áp dụng Công thức nghiệm phương trình bậc hai

Nhận dạng phương trình bậc hai một ẩn

Phương pháp:

Phương trình bậc hai một ẩn (hay gọi tắt là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng:

ax² + bx +c = 0 (a ≠ 0)

Trong đó a, b, c là các số thực cho trước, x là ẩn số.

Giải phương trình bậc 2 bằng cách sử dụng cộng thức nghiệm

Phương pháp:

+ Nếu Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ và $x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$

+ Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép là $x_1=x_2=\frac{-b}{2a}$

+ Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

Bài tập:

Câu 1: Giải phương trình x² - 5x + 4 = 0

Hướng dẫn:

+ Tính Δ = (-5)² - 4.4.1 = 25 - 16 = 9 > 0

+ Do Δ > 0 , phương trình có hai nghiệm là:

$x_1=\frac{-(-5)+\sqrt{9}}{2.1}=\frac{8}{2}=4$ và $x_1=\frac{-(-5)-\sqrt{9}}{2.1}=\frac{2}{2}=1$

Vậy phương trình có hai nghiệm là x₁ = 4; x₂ = 1

Câu 2: Giải phương trình 5x² - x + 2 = 0

Hướng dẫn:

+ Tính Δ = (-1)² - 4.5.2 = -39 < 0

+ Do Δ < 0, phương trình đã cho vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Câu 3: Giải phương trình x² - 4x + 4 = 0.

Hướng dẫn:

+ Tính Δ = (-4)² - 4.4.1 = 16 - 16 = 0.

+ Do Δ = 0, phương trình có nghiệm kép là x₁ = x₂ = $\frac{-4}{2.1}$ = 2

Vậy phương trình có nghiệm kép là x = 2

Biện luận số nghiệm của phương trình bậc 2

Phương pháp:

Xét phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a≠0)

+) Phương trình có nghiệm kép ⇔ a ≠ 0 và Δ = 0

+) Phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔ a ≠ 0 và Δ > 0

+) Phương trình vô nghiệm ⇔ a ≠ 0; Δ < 0 ⇔ a ≠ 0 và Δ < 0

Bài tập:

Câu 1: Cho phương trình $x^2+(2m+1)x+m^2-1=0$ (1)

a, Tìm m để phương trình có nghiệm

b, Tìm m để phương trình có nghiệm kép

c, Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

d, Tìm m để phương trình vô nghiệm

Hướng dẫn:

Phương trình (1) là phương trình bậc hai với :

$\Delta=b^2-4ac=(2m+1)^2-4.(m^2-1)=4m^2+4m+1-4m^2+4=4m+5$

a, Để phương trình (1) có nghiệm

$\Leftrightarrow \Delta \geq0\Leftrightarrow4m+5\geq0\Leftrightarrow m\geq\frac{-5}{4}$

b, Để phương trình (1) có nghiệm kép

$\Leftrightarrow \Delta =0\Leftrightarrow4m+5=0\Leftrightarrow m=\frac{-5}{4}$

c, Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \Delta >0\Leftrightarrow4m+5>0\Leftrightarrow m>\frac{-5}{4}$

d, Để phương trình (1) vô nghiệm

$\Leftrightarrow \Delta <0\Leftrightarrow4m+5<0\Leftrightarrow m<\frac{-5}{4}$

A- Dấu của các nghiệm của phương trình bậc hai

Theo hệ thức Vi-ét nếu phương trình bậc hai ax2+bx+c=0(a≠0):

có nghiệm x1,x2 thì S=x1+x2=−ba;P=x1.x2=ca.

Do đó điều kiện để một phương trình bậc 2 :

– Có 2 nghiệm dương là: Δ≥0;P>0;S>0.– Có 2 nghiệm âm là: Δ≥0;P>0;S<0.

– Có 2 nghiệm trái dấu là: P<0 (Khi đó hiển nhiên Δ>0).

B- So sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với một số

I/ So sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với số 0

II/ So sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với một số bất kỳ

III/ Điều kiện về nghiệm của phương trình quy về phương trình bậc 2

Tổng hợp dạng toán về phương trình bậc 2 một ẩn thông dụng nhất.

Phương trình bậc 2 một ẩn - Lý thuyết.

Phương trình bậc 2 một ẩn là gì?

READ Diện Tích Ống Dây – Công Thức Tính Tiết Diện Ngang Của Ống Dây – Lingocard.vn

Cho phương trình sau: ax²+bx+c=0 (a≠0), được gọi là phương trình bậc 2 với ẩn là x.

Công thức nghiệm: Ta gọi Δ=b²-4ac.Khi đó:

Δ>0: phương trình tồn tại 2 nghiệm:.

Δ=0, phương trình có nghiệm kép x=-b/2a
Δ<0, phương trình đã cho vô nghiệm.

Trong trường hợp b=2b’, để đơn giản ta có thể tính Δ’=b’²-ac, tương tự như trên:

Δ’>0: phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Δ’=0: phương trình có nghiệm kép x=-b’/a
Δ’<0: phương trình vô nghiệm.

Định lý Viet và ứng dụng trong phương trình bậc 2 một ẩn.

Cho phương trình bậc 2 một ẩn: ax²+bx+c=0 (a≠0). Giả sử phương trình có 2 nghiệm x₁ và x₂, lúc này hệ thức sau được thỏa mãn:

Dựa vào hệ thức vừa nêu, ta có thể sử dụng định lý Viet để tính các biểu thức đối xứng chứa x₁ và x₂

x₁+x₂=-b/a
x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=(b²-2ac)/a²
…

Nhận xét: Đối với dạng này, ta cần biến đổi biểu thức làm sao cho xuất hiện (x₁+x₂) và x₁x₂ để áp dụng hệ thức Viet.

Định lý Viet đảo: Giả sử tồn tại hai số thực x₁ và x₂ thỏa mãn: x₁+x₂=S, x₁x₂=P thì x₁ và x₂ là 2 nghiệm của phương trình x²-Sx+P=0

Một số ứng dụng thường gặp của định lý Viet trong giải bài tập toán:

Nhẩm nghiệm phương trình bậc 2: cho phương trình ax²+bx+c=0 (a≠0),
- Nếu a+b+c=0 thì phương trình có nghiệm x₁=1 và x₂=c/a
- Nếu a-b+c=0 thì phương trình có nghiệm x₁=-1 và x₂=-c/a

Phân tích đa thức thành nhân tử: cho đa thức P(x)=ax²+bx+c nếu x₁ và x₂ là nghiệm của phương trình P(x)=0 thì đa thức P(x)=a(x-x₁)(x-x₂)
Xác định dấu của các nghiệm: cho phương trình ax²+bx+c=0 (a≠0), giả sử x₁ và x₂ là 2 nghiệm của phương trình. Theo định lý Viet, ta có:

Nếu S<0, x1 và x₂ trái dấu.
Nếu S>0, x₁ và x₂ cùng dấu:
- P>0, hai nghiệm cùng dương.
- P<0, hai nghiệm cùng âm.

II. Dạng bài tập về phương trình bậc 2 một ẩn:

Dạng 1: Bài tập phương trình bậc 2 một ẩn không xuất hiện tham số.

Để giải các phương trình bậc 2, cách phổ biến nhất là sử dụng công thức tính Δ hoặc Δ’, rồi áp dụng các điều kiện và công thức của nghiệm đã được nêu ở mục I.

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

x²-3x+2=0
x²+x-6=0

Hướng dẫn:

Δ=(-3)²-4.2=1. Vậy

Ngoài ra, ta có thể áp dụng cách tính nhanh: để ý

suy ra phương trình có nghiệm là x₁=1 và x₂=2/1=2

Δ=1²-4.(-6)=25. Vậy

Tuy nhiên, ngoài các phương trình bậc 2 đầy đủ, ta cũng xét những trường hợp đặc biệt sau:

Phương trình khuyết hạng tử.

READ Cách tính delta, delta phẩy: Công thức & bài tập vận dụng

Khuyết hạng tử bậc nhất: ax²+c=0 (1).

Phương pháp:

Nếu -c/a>0, nghiệm là:

Nếu -c/a=0, nghiệm x=0
Nếu -c/a<0, phương trình vô nghiệm.

Khuyết hạng tử tự do: ax²+bx=0 (2). Phương pháp:

Ví dụ 2: Giải phương trình:

x²-4=0
x²-3x=0

Hướng dẫn:

x²-4=0 ⇔ x²=4 ⇔ x=2 hoặc x=-2
x²-3x=0 ⇔ x(x-3)=0 ⇔ x=0 hoặc x=3

Phương trình đưa về dạng bậc 2.

Phương trình trùng phương: ax⁴+bx²+c=0 (a≠0):

Đặt t=x² (t≥0).
Phương trình đã cho về dạng: at²+bt+c=0
Giải như phương trình bậc 2 bình thường, chú ý điều kiện t≥0

Phương trình chứa ẩn ở mẫu:

Tìm điều kiện xác định của phương trình (điều kiện để mẫu số khác 0).
Quy đồng khử mẫu.
Giải phương trình vừa nhận được, chú ý so sánh với điều kiện ban đầu.

Chú ý: phương pháp đặt t=x² (t≥0) được gọi là phương pháp đặt ẩn phụ. Ngoài đặt ẩn phụ như trên, đối với một số bài toán, cần khéo léo lựa chọn sao cho ẩn phụ là tốt nhất nhằm đưa bài toán từ bậc cao về dạng bậc 2 quen thuộc. Ví dụ, có thể đặt t=x+1, t=x²+x, t=x²-1…

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:

4x⁴-3x²-1=0

Hướng dẫn:

Đặt t=x² (t≥0), lúc này phương trình trở thành:

4t²-3t-1=0, suy ra t=1 hoặc t=-¼

t=1 ⇔ x²=1 ⇔ x=1 hoặc x=-1.
t=-¼ , loại do điều kiện t≥0

Vậy phương trình có nghiệm x=1 hoặc x=-1.

Ta có:

Dạng 2: Phương trình bậc 2 một ẩn có tham số.

Biện luận số nghiệm của phương trình bậc 2.

Phương pháp: Sử dụng công thức tính Δ, dựa vào dấu của Δ để biện luận phương trình có 2 nghiệm phân biệt, có nghiệm kép hay là vô nghiệm.

Ví dụ 4: Giải và biện luận theo tham số m: mx²-5x-m-5=0 (*)

Hướng dẫn:

Xét m=0, khi đó (*) ⇔ -5x-5=0 ⇔ x=-1

Xét m≠0, khi đó (*) là phương trình bậc 2 theo ẩn x.

Vì Δ≥0 nên phương trình luôn có nghiệm:
- Δ=0 ⇔ m=-5/2, phương trình có nghiệm duy nhất.
- Δ>0 ⇔ m≠-5/2, phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

Xác định điều kiện tham số để nghiệm thỏa yêu cầu đề bài.

Phương pháp: để nghiệm thỏa yêu cầu đề bài, trước tiên phương trình bậc 2 phải có nghiệm. Vì vậy, ta thực hiện theo các bước sau:

Tính Δ, tìm điều kiện để Δ không âm.
Dựa vào định lý Viet, ta có được các hệ thức giữa tích và tổng, từ đó biện luận theo yêu cầu đề.

Ví dụ 5: Cho phương trình x2+mx+m+3=0 (*). Tìm m để phương trình (*) có 2 nghiệm thỏa mãn:

Hướng dẫn:

Để phương trình (*) có nghiệm thì:

Khi đó, gọi x₁ và x₂ là 2 nghiệm, theo định lý Viet:

Mặt khác:

Theo đề:

Thử lại:

Khi m=5, Δ=-7 <0 (loại)
Khi m=-3, Δ=9 >0 (nhận)

vậy m = -3 thỏa yêu cầu đề bài.

Traloitructuyen.com cũng giúp giải đáp những vấn đề sau đây:

công thức nghiệm của phương trình bậc 2
Việt công thức nghiệm của phương trình bậc 2
Viết công thức nghiệm của phương trình bậc 2
Chứng minh công thức nghiệm của phương trình bậc 2
công thức nghiệm của phương trình bậc 2 b'
Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc 2
Công thức nghiệm của phương trình bậc 3
Chuyên đề công thức nghiệm của phương trình bậc 2

See more articles in the category: Môn toán

Traloitructuyen.com

Công thức nghiệm của phương trình bậc hai | Traloitructuyen.com

1. Định nghĩa phương trình bậc 2

2. Công thức nghiệm phương trình bậc 2