Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp – Công thức và ví dụ |Traloitructuyen.com

Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp - Công thức và ví dụ

Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp  hay còn được gọi là hình chóp nội tiếp mặt cầu. Đây là một dạng toán kết hợp giữa khối đa diện và khối cầu. Để làm tốt dạng toán này các em cần nắm chắc phương pháp xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp. Ngoài ra chúng ta vận dụng được các công thức tính nhanh trong các trường hợp cụ thể.

• Bài tập mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
• Phương pháp giải nhanh bài toán mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
• Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bất kì
• Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
• Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có đáy là hình vuông
• Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều

I. TỔNG HỢP CÔNG THỨC TÍNH NHANH

TỔNG HỢP CÔNG THỨC TÍNH NHANH

II. CÁCH XÁC ĐỊNH TÂM MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP

Để xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1:  Xác định trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Gọi tắt là trục của đáy ( là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy).
Bước 2:  Xác định mặt phẳng trung trực của một cạnh bên. Hoặc trục của của đường tròn ngoại tiếp một đa giác của mặt bên.
Bước 3:  Giao điểm của trục của đáy và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên (hoặc trục của đáy của và trục của một mặt bên) là tâm mặt cầu ngoại tiếp.
Nhận xét: Hình chóp có đáy hoặc các mặt bên là các đa giác không nội tiếp được đường tròn thì hình chóp đó không nội tiếp được mặt cầu.

III. HÌNH (KHỐI) CHÓP CÓ CÁC ĐỈNH CÙNG NHÌN MỘT CẠNH DƯỚI GÓC VUÔNG

Nếu khối chóp có các đỉnh cùng nhìn 1 cạnh AB (Các đỉnh không nằm trên cạnh đó-Không kể A, B) thì tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp đó là trung điểm AB. Đồng thời AB là đường kính mặt cầu. Bán kính R=AB/2.

[external_link offset=1]

Ví dụ:

Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với đáy. Đáy là tam giác vuông tại B. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC biết SC=2a.

Lời giải:

HÌNH (KHỐI) CHÓP ĐỀU

Khối chóp đều có cạnh bên SA và chiều cao SO thì bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là

Chứng minh:

Ví dụ:

Biết tứ diện đều cạnh a nội tiếp mặt cầu (S) bán kính R. Tính R.

Lời giải:

[external_link offset=2]

IV. HÌNH CHÓP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY

Hình chóp có cạnh bên SA=h vuông góc với đáy và có bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy là r. Bán kính khối cầu ngoại tiếp hình chóp đó là

Chứng minh:

V. MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP CÓ MẶT BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY

Giả sử hình chóp có mặt bên SAB là tam giác đều, cân tại S, vuông tại S và đồng thời nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB. Gọi  là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy. Bán kính khối cầu ngoại tiếp hình chóp đó là

Các dạng hình chóp thường gặp và cách xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó.

Dạng 1. Hình chóp có các điểm cùng nhìn một đoạn thẳng AB dưới một góc vuông

Phương pháp: 

• Tâm: Trung điểm của đoạn thẳng AB
• Bán kính: R =AB/2

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SC = 2a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB

SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC

Suy ra hai điểm A, B cùng nhìn SC dưới một góc vuông.

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là: R = SC/2 = 2a/2 = a

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tại A, SA vuông góc với mặt phẳng  (ABCD) và SC = 2a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

Chứng minh tương tự ta được: CD ⊥ SD

SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ AC

Ba điểm A, B, D cùng nhìn SC dưới một góc vuông.

Vậy bán kính mặt cầu là R = SC/2 = 2a/2 = a

Dạng 2: Hình chóp đều.

Phương pháp: Khối chóp đều có cạnh bên SA và chiều cao SO thì bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là

R = SA²/2SO

Chứng minh:

Gọi O là tâm của đáy ⇒ SO là trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

Trong mặt phẳng xác định bởi SO và một cạnh bên, chẳng hạn như (SAO), ta vẽ đường trung trực của cạnh SA và cắt SO tại I ⇒  I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Ta có: ΔSNI ∼ ΔSOA ⇒ SN/SO = SI/SA, suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là:

Ví dụ 1: Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a.

Gọi O là tâm đáy thì SO là trục của hình vuông ABCD. Gọi N là trung điểm của SD, trong (SDO) kẻ trung trực của đoạn SD cắt SO tại I thì IS = IA = IB = IC = ID nên I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD . Bán kính mặt cầu là R = SI.

Ta có: ΔSNI ∼ ΔSOA ⇒ SN/SO = SI/SD ⇒ R = SI = SD. SN / SO = SD²/SO

Dạng 3. Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy.

Phương pháp: Cho hình chóp S.A₁A₂…A_n có cạnh bên SA ⊥ (A₁A₂…A_n) và đáy A₁A₂…A_n nội tiếp được trong đường tròn tâm O. Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.A₁A₂…A_n được xác định như sau:

Từ tâm O ngoại tiếp của đường tròn đáy, ta vẽ đường thẳng d vuông góc với (A₁A₂…A_n) tại O.

Trong (d, SA₁), ta dựng đường trung trực Δ của cạnh SA ,cắt SA₁ tại N, cắt d tại I .

Khi đó: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, bán kính R = IA₁ = IA₂ =… = IA_n = IS
.
Tìm bán kính: Ta có: MIOA₁ là hình chữ nhật, xét MA₁I vuông tại M có: 

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có cạnh SA vuông góc với đáy, ABC là tam giác cân tại A và AB = a, góc BAC = 120, SA = 2a. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC.

Dựng trục d của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; trong mặt phẳng (SA,d) vẽ trung trực cạnh SA và cắt d tại I.

Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC và bán kính R = IA = IB = IC = IS

Dạng 4. Hình chóp có mặt bên vuông góc với mặt phẳng đáy.

Giả sử hình chóp có mặt bên SAB là tam giác đều, cân tại S, vuông tại S và đồng thời nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi R_d là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB. Gọi R_d là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy. Bán kính khối cầu ngoại tiếp hình chóp đó là 

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.

Bài tập minh họa công thức tính kèm lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 3a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp đã cho.

Hướng dẫn giải: 

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, suy ra SO⊥(ABCD).

Xét tam giác SAO vuông tại O ta có:

Bài tập 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông. SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SC=2a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp trên.

Hướng dẫn giải: 

   Áp dụng Định lí cos ta có: