Thật vậy, nếu cho hai đường thẳng (d1) và (d2) song song với nhau. Khoảng cách hai đường thẳng này bằng khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia, tức là:
d(d1; d2) = d( A; d2) trong đó A là điểm bất kỳ thuộc đường thẳng d1.
[external_link_head]* Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song ta thực hiện như sau:
+ Bước 1: Đưa phương trình đường thẳng d1; d2 đã cho về dạng tổng quát.
+ Bước 2: Lấy một điểm A bất kì thuộc đường thẳng d1.
+ Bước 3: Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d2.
+ Bước 4: Kết luận: d(d1;d2) = d(A;d2).
* Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng qua các bài minh họa
* Ví dụ 1: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d1: 2x - 3y - 12 = 0 và d2: 4x - 6y + 3 = 0:
* Lời giải:
- Xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng d1 và d2 ta có:
2/4 = -3/-6 ≠ -12/3
⇒ Hai đường thẳng đã cho song song với nhau: d1 // d2.
[external_link offset=1]- Ta lấy điểm A(3;-2) ∈ d1 khi đó khoảng cách từ điểm A tới d2 chính là khoảng cách giữa 2 đường thẳng d1 và d2.
d(d1;d2) = d(A;d2) = |+84888672676|/√(42 + (-6)2) = 27/√52.
* Ví dụ 2: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song d1: 6x - 8y + 3 = 0 và d2: 3x - 4y - 6 = 0.
* Lời giải:
- Xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng d1 và d2 ta có:
6/3 = -8/-4 ≠ 3/-6
⇒ Hai đường thẳng d1, d2 đã cho song song với nhau: d1 // d2.
- Lấy điểm B(2;0) ∈ d2 khi đó khoảng cách từ điểm B tới d1 chính là khoảng cách giữa 2 đường thẳng d1 và d2.
d(d1;d2) = d(B;d1) = |+84888672676|/√(62 + 82) = 15/√100 = 15/10 = 3/2
> Lưu ý: Việc chọn 1 điểm thuộc đường thẳng d1 (hoặc d2) các em nên chọn giá trị x, y sao cho là số nguyên nhỏ (như 0; 1; -1; 2; -2) thỏa phương trình đường thẳng d1 (hoặc d2) để thuận tiện tính toán.
* Ví dụ 3: Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng d1: 7x + y - 3 và d2 có phương trình tham số: x = -2 + t và y = 2 - 7t.
* Lời giải:
- Ta cần đưa phương trình tham số của d2 về phương trình tổng quát:
d2: qua điểm A(-2;2) có VTCP u(1;-7) suy ra VTPT n(7;1)
⇒ Phương trình tổng quát của d2 là: 7(x + +84888672676(y - 2) = 0 ⇔ 7x + y + 12 = 0
- Ta xác định vị trí d1 và d2, có: 7/7 = 1/1 ≠ -3/12 nên d1//d2
- Như vậy, giờ ta cần tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song d1: 7x + y - 3 và d2: 7x + y + 12 = 0.
- Ta lấy ngay điểm A(-2;2) ∈ d2. ta có:
d(d2;d1) = d(A;d1) = |7.(-+84888672676.2 - 3|/√(72 + 12) = 15/√50 = 3/√2 = 3√2/2.
* Ví dụ 4: Tập hợp các điểm cách đường thẳng ∆: 4x + 3y - 6 = 0 một khoảng bằng 1?
* Lời giải:
[external_link offset=2]- Gọi điểm M (x ; y) là điểm cách đường thẳng ∆ một khoảng bằng 1. Như vậy ta có:
d(M; Δ) = 1 ⇔ |4x + 3y - 6|/√(42 + 32) = 1
⇔ |4x + 3y - 6| = 5 ⇔ 4x + 3y - 6 = 5 hoặc 4x + 3y - 6 = -5
⇔ 4x + 3y - 11 = 0 hoặc 4x + 3y - 1 = 0.
- Vậy tập hợp các điểm cách ∆ một khoảng bằng 1 là 2 đường thẳng: 4x + 3y - 11 = 0 và 4x + 3y - 1 = 0.
* Ví dụ 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: 6x + 8y - 20 = 0 và d2: 6x + 8y + 22 = 0 song song nhau. Viết phương trình đường thẳng Δ vừa song song và cách đều với d1; d2.
* Lời giải:
- Lấy điểm M (x; y) thuộc đường thẳng Δ, ta có:
d(M;d1) = d(M;d2) ⇔ |6x + 8y - 20|/√(62 + 82) = |6x + 8y + 22|/√(62 + 82)
⇔ |6x + 8y - 20| = |6x + 8y + 22|
⇔ 6x + 8y - 20 = 6x + 8y + 22 hoặc 6x + 8y - 20 = -(6x + 8y + 22)
⇔ -44 = 0 (vô lý) hoặc 12x + 16y + 2 = 0 hay 6x + 8y + 1 = 0
Vậy đường thẳng Δ: 6x + 8y + 1 = 0 song song và cách đều d1; d2
Như vậy, các em thấy việc tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song hoàn toàn được đưa về dạng bài toán tính khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng.
Hy vọng với bài viết tính khoảng cách của hai đường thẳng song song ở trên, các em đã hiểu rõ hơn để lấy đây làm cơ sở để tiếp thu tốt hơn dạng toán khó hơn, đó là là tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian. [external_footer]
