CHUYÊN ĐỀ 2: Diện tích đa giác – Chuyên đề Toán lớp 8 | Traloitructuyen.com

CHUYÊN ĐỀ 2

                                   Diện tích đa giác

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Mỗi đa giác có một diện tích xác định. Diện tích đa giác là một số dương có các tính chất sau :

• Hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau.
• Nếu một đa giác được chia thành những đa giác không có điểm trong chung thì diện tích của nó bằng tổng diện tích của những đa giác đó.
• Hình vuông cạnh có độ dài bằng 1 thì có diện tích là 1.

2. Các công thức tính diện tích đa giác

• Diện tích hình chữ nhật bằng tích hai kích thước của nó

S = ab (a, b là kích thước hình chữ nhật)

• Diện tích hình vuông bằng bình phương cạnh của nó

S = (a là độ dài cạnh hình vuông)

S = ab (a, b là độ dài hai cạnh góc vuông)

• Diện tích tam giác bằng nửa tích của một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó

S = ah (a, h là độ dài cạnh và đường cao tương ứng)

• Diện tích hình thang bằng nửa tích của tổng hai đáy với chiều cao :

S =  (a + b) h (a, b là độ dài hai đáy, h là độ dài đường cao)

• Diện tích hình bình hành bằng tích của một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó ;

S = ah (a, h là độ dài một cạnh và đường cao tương ứng)

B. CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA

Dạng 1. Tính diện tích đa giác.

Phương pháp giải: Đưa về tính tổng các diện tích hoặc hiệu các diện tích.

Dạng 2. Tính diện tích của đa giác bất kì.
Phương pháp giải: Đưa về tính tổng các diện tích hoặc hiệu các diện tích.

Dạng 3. Dựng tam giác có diện tích bằng diện tích một đa giác.

Phương pháp giải: Thường kẻ đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước để tạo ra một tam giác mới có diện tích bằng diện tích một tam giác cho trước.

Dạng bài: Tính góc của đa giác

A. Phương pháp giải

+) Tổng các góc trong của đa giác n cạnh là (n-2).180.

+)  Để tìm số cạnh của đa giác khi biết tổng các góc, ta dùng công thức trên.

Tổng các góc ngoài của đa giác lồi cạnh có số đo là 360 ( tại mỗi đỉnh chỉ chọn một góc ngoài). 

B. Ví dụ minh họa

Câu 1: Tổng số đo các góc của đa giác đều 7 cạnh là:

A. 900

B. 540

C. 1080

D. 108

Giải. Tổng số đo của các góc của đa giác đều 7 cạnh là: (7-2).180 = 900

Câu 2: Trong tất cả các góc trong và một góc ngoài của một đa giác có số đo là 47058,5. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu cạnh?

Lời giải:

Gọi n là số cạnh của đa giác 

Tổng số đo góc trong của đa giác bằng (n-2).180

Vì tổng các góc trong và một trong các góc ngoài của đa giác có số đo là 47058,5 nên ta có:

Vậy số cạnh của đa giác là 263.

Câu 3: Tổng số đo các góc của một đa giác n – cạnh trừ đi góc A của nó bằng 570. Tính số cạnh của đa giác đó và .

Lời giải:

Dạng bài: Tính đường chéo của đa giác

A. Phương pháp giải

+) Số đường chéo của đa giác lồi n đỉnh là 

+) Để tìm số cạnh của đa giác khi biết số đường chéo, ta dùng công thức trên.

B. Ví dụ minh họa

Câu 1: Cho đa giác 8 cạnh, số đường chéo của đa giác đó là:

Lời giải:

Số đường chéo của đa giác lồi n cạnh là:

Câu 2: Tổng số đường chéo của ngũ giác lồi là:

A. 7

B. 8

C. 5

D. 10

Lời giải:

Số các đường chéo của đa giác lồi 5 cạnh bằng:

Câu 3: Một đa giác có 27 đường chéo. Hỏi đa giác có bao nhiêu cạnh?

Giải. 

Gọi số cạnh của đa giác là n (cạnh; ) thì số đường chéo là

Theo giả thiết đa giác có 27 đường chéo nên ta có: 

Vậy đa giác có 9 cạnh.

Câu 4: Tìm số cạnh của một đa giác biết số đường chéo hơn số cạnh là 7. 

Giải.

Đặt số cạnh của đa giác là n (cạnh, ) thì số đường chéo là

Theo đề bài số đường chéo hơn số cạnh là 7, ta có: 

Vì n ≥ 3 nên n - 7 = 0 ⇔ n = 7. Vậy số cạnh của đa giác là 7. 

Dạng bài: Tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của diện tích một hình

A. Phương pháp giải

+) Nếu diện tích của một hình luôn lớn hơn hoặc bằng một hằng số m, và tồn tại một vị trí của hình để diện tích bằng m thì m là số đo diện tích nhỏ nhất của hình đó.

+) Nếu diện tích của một hình luôn nhỏ hơn hoặc bằng một hằng số M, và tồn tại một vị trí của hình để diện tích bằng M thì M là số đo diện tích lớn nhất của hình đó.

B. Ví dụ minh họa

Câu 1: Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi là 100cm, hình có diện tích lớn nhất là bao nhiêu?

Lời giải:

Nửa chu vi của hình chữ nhật là: 100:2 = 50cm

Gọi kích thước của hình chữ nhật là x (cm; x>0) thì kích thước còn lại là 50-x (cm)

Diện tích hình chữ nhật là:

Dấu “=” xảy ra khi x = 25.

Vậy hình chữ nhật có diện tích lớn nhất là 25² = 625(cm²).

Câu 2: Cho đoạn thẳng AB có độ dài 2a. Vẽ về một phía của AB các tia Ax và By vuông góc với AB. Qua trung điểm M của AB có hai đường thẳng thay đổi luôn vuông góc với nhau và cắt Ax, By theo thứ tự tại C và D. Xác định vị trí của các điểm C, D sao cho tam giác MCD có diện tích nhỏ nhất. Tính diện tích tam giác đó?

Lời giải:

Lời giải:

Gọi K là giao điểm của CM và DB. 

Xét ΔAMC và ΔBMK có:

Các điểm C, D được xác định trên Ax; By sao cho AC = BC = a.