Nguyên hàm từng phần là gì?
Cho hai hàm số $u=uleft( x right)$ và $v=vleft( x right)$ có đạo hàm liên tục trên $K$ ta có công thức nguyên hàm từng phần: $int{udv=uv-int{vdu.}}$
Chú ý: Ta thường sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần nếu nguyên hàm có dạng $I=int{fleft( x right).gleft( x right)dx,}$ trong đó $fleft( x right)$ và $gleft( x right)$ là 2 trong 4 hàm số: Hàm số logarit, hàm số đa thức, hàm số lượng giác, hàm số mũ.
[external_link_head]Để tính nguyên hàm $int{fleft( x right).gleft( x right)dx}$ từng phần ta làm như sau:
– Bước 1. Đặt $left{ begin{array} {} u=fleft( x right) \ {} dv=gleft( x right)dx \ end{array} right.Rightarrow left{ begin{array} {} du=f'left( x right)dx \ {} v=Gleft( x right) \ end{array} right.$ (trong đó $Gleft( x right)$ là một nguyên hàm bất kỳ của hàm số $gleft( x right)$)
– Bước 2. Khi đó theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:
[external_link offset=1]$int{fleft( x right).gleft( x right)dx=fleft( x right).Gleft( x right)-int{Gleft( x right).f'left( x right)dx.}}$
Chú ý: Khi $I=int{fleft( x right).gleft( x right)dx}$ và $fleft( x right)$ và $gleft( x right)$ là 2 trong 4 hàm số: Hàm số logarit, hàm số đa thức, hàm số lượng giác, hàm số mũ ta đặt theo quy tắc đặt $u.$
Nhất log (hàm log, ln) – Nhì đa (hàm đa thức)
Tam lượng (hàm lượng giác) – Tứ mũ (hàm mũ)
Tức là hàm số nào đứng trước trong câu nói trên ta sẽ đặt $u$ bằng hàm đó. Bài tập:
- Nếu $fleft( x right)$ là hàm log, $gleft( x right)$ là một trong 3 hàm còn lại, ta sẽ đặt $left{ begin{array} {} u=fleft( x right) \ {} dv=gleft( x right)dx \ end{array} right..$
- Tương tự nếu $fleft( x right)$ là hàm mũ, $gleft( x right)$ là hàm đa thức, ta sẽ đặt $left{ begin{array} {} u=gleft( x right) \ {} dv=fleft( x right)dx \ end{array} right.$
Một số dạng nguyên hàm từng phần thường gặp.
@ Dạng 1: $I=int{Pleft( x right)ln left( mx+n right)dx,}$ trong đó $Pleft( x right)$ là đa thức.
Theo quy tắc ta đặt $left{ begin{array} {} u=ln left( mx+n right) \ {} dv=Pleft( x right)dx \ end{array} right..$
@ Dạng 2: $I=int{Pleft( x right)left[ begin{array} {} sin x \ {} cos x \ end{array} right]dx,}$ trong đó $Pleft( x right)$ là đa thức.
[external_link offset=2]Theo quy tắc ta đặt $left{ begin{array} {} u=Pleft( x right) \ {} dv=left[ begin{array} {} sin x \ {} cos x \ end{array} right]dx \ end{array} right..$
@ Dạng 3: $I=int{Pleft( x right){{e}^{ax+b}}dx,}$ trong đó $Pleft( x right)$ là đa thức
Theo quy tắc ta đặt $left{ begin{array} {} u=Pleft( x right) \ {} dv={{a}^{ax+b}}dx \ end{array} right..$
@ Dạng 4: $I=int{left[ begin{array} {} sin x \ {} cos x \ end{array} right]{{e}^{x}}dx.}$
Theo quy tắc ta đặt $left{ begin{array} {} u=left[ begin{array} {} sin x \ {} cos x \ end{array} right] \ {} dv={{e}^{x}}dx \ end{array} right..$
