Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Trong không gian $Oxyz$ cho hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ chéo nhau
Đường thẳng $d_1$ có vector chỉ phương là ${vec u_1}$, đi qua điểm $M_1$;
[external_link_head]Đường thẳng $d_2$ có vector chỉ phương là ${vec u_2}$, đi qua điểm $M_2$.
Khoảng cách giữa $d_1$ và $d_2$, ký hiệu $dleft( {{d_1},{d_2}} right)$, được tính theo công thức $$dleft( {{d_1},{d_2}} right) = frac{{left| {overrightarrow {{M_1}{M_2}} cdot left[ {{{vec u}_1},{{vec u}_2}} right]} right|}}{{left| {left[ {{{vec u}_1},{{vec u}_2}} right]} right|}}.$$
[external_link offset=1]Cách khác: Bước 1. Viết phương trình mặt phẳng $left( P right)$ chứa $d_1$ và song song với $d_2$. Cặp vector chỉ phương của $left( P right)$ là ${{vec u}_1},{{vec u}_2}$. Suy ra ${vec n_P} = left[ {{{vec u}_{{d_1}}},{{vec u}_{{d_2}}}} right].$
Bước 2. $dleft( {{d_1},{d_2}} right) = dleft( {{d_2},left( P right)} right) = dleft( {{M_2},left( P right)} right).$
Ví dụ. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $left( {{d_1}} right):left{ begin{array}{l}
x = t\
y = 5 - 2t\
z = +84888672676t
end{array} right.$ và $left( {{d_2}} right):left{ begin{array}{l}
x = 9 - 4lambda \
y = 3 + lambda \
z = - 1 + 5lambda
end{array} right..$
Giải. Ta có ${vec u_1} = left( {1; - 2; - 3} right),;;{vec u_1} = left( { - 4;1;5} right) Rightarrow left[ {{{vec u}_1},{{vec u}_2}} right] = left( { - 7;7; - 7} right) Rightarrow left| {left[ {{{vec u}_1},{{vec u}_2}} right]} right| = sqrt {{{left( { - 7} right)}^2} + {7^2} + {{left( { - 7} right)}^2}} = 7sqrt 3 .$
Ta cũng có ${M_1}left( {0;5;14} right) in {d_1},{M_2}left( {9;3; - 1} right) in {d_2} Rightarrow overrightarrow {{M_1}{M_2}} = left( {9; - 2; - 15} right).$
Suy ra $overrightarrow {{M_1}{M_2}} cdot left[ {{{vec u}_1},{{vec u}_2}} right] = - 7 cdot 9 + 7 cdot left( { - 2} right) - 7 cdot left( { - 15} right) = 28.$
Như vậy $dleft( {{d_1},{d_2}} right) = frac{{left| {overrightarrow {{M_1}{M_2}} cdot left[ {{{vec u}_1},{{vec u}_2}} right]} right|}}{{left| {left[ {{{vec u}_1},{{vec u}_2}} right]} right|}} = frac{{28}}{{7sqrt 3 }} = frac{4}{{sqrt 3 }}.$
Cách khác. Ta có ${vec n_P} = left[ {{{vec u}_{{d_1}}},{{vec u}_{{d_2}}}} right] = left( { - 7;7; - 7} right) = - 7left( {1; - 1;1} right)$ và $Mleft( {0;5;14} right) in {d_1} subset left( P right).$ Suy ra $$left( P right):1 cdot left( {x - 0} right) - 1 cdot left( {y - 5} right) + 1 cdot left( {z - 14} right) = 0 Leftrightarrow x - y + z - 9 = 0.$$ Như vây $$dleft( {{d_1},{d_2}} right) = dleft( {{M_2},left( P right)} right) = frac{{left| {+84888672676} right|}}{{sqrt {{1^2} + {{left( { - 1} right)}^2} + {1^2}} }} = frac{4}{{sqrt 3 }}.$$
Bài tập
(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)
