Or you want a quick look: Công thức 1: Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy
Đây là bài viết rất hữu ích đối với bạn đọc, đầy đủ tất cả các trường hợp hay gặp khi tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện:
![[Vted.vn] - Tổng hợp tất cả các công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện | Học toán online chất lượng cao 2021 | Vted](https://traloitructuyen.com/wp-content/uploads/2021/07/636703460390693547rEdriiqz7k6.jpg)
Định nghĩa mặt cầu ngoại tiếp
-
Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện là mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của khối đa diện đó
Điều kiện cần và đủ để khối chóp có mặt cầu ngoại tiếp
-
Đáy là một đa giác nội tiếp
Chứng minh. Xem bài giảng
Công thức 1: Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy
$R=sqrt{R_{d}^{2}+{{left( dfrac{h}{2} right)}^{2}}}.$
Trong đó ${{R}_{d}}$ là bán kính ngoại tiếp đáy; $h$ là độ dài cạnh bên vuông góc với đáy.
Ví dụ 1.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật với $AB=3a,BC=4a,SA=12a$ và $SA$ vuông góc với đáy. Tính bán kính $R$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD.$
A. $R=frac{13a}{2}.$ | B. $R=6a.$ | C. $R=frac{17a}{2}.$ | D. $R=frac{5a}{2}.$ |
Trích đề thi THPT Quốc gia 2017 – Câu 16 – mã đề 122
Giải.Ta có ${{R}_{d}}=frac{AC}{2}=frac{sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}}{2}=frac{sqrt{9{{a}^{2}}+16{{a}^{2}}}}{2}=frac{5a}{2}.$
Vậy $R=sqrt{R_{d}^{2}+{{left( frac{h}{2} right)}^{2}}}=sqrt{{{left( frac{5a}{2} right)}^{2}}+{{left( frac{12a}{2} right)}^{2}}}=frac{13a}{2}.$ Chọn đáp án A.
Ví dụ 2. Cho hình chóp $S.ABC$ có [SA=SB=SC=a,widehat{ASB}=widehat{ASC}={{90}^{0}},widehat{BSC}={{60}^{0}}.] Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
![[Vted.vn] - Tổng hợp tất cả các công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện | Học toán online chất lượng cao 2021 | Vted](https://traloitructuyen.com/wp-content/uploads/2021/07/636802308363297988KgYRDQwV3SX.jpg)
A. $frac{7pi {{a}^{2}}}{6}.$ | B. [frac{7pi {{a}^{2}}}{3}.] | C. $frac{7pi {{a}^{2}}}{18}.$ | D. $frac{7pi {{a}^{2}}}{12}.$ |
Giải. Ta có $left{ begin{gathered} SA bot SB hfill \ SA bot SC hfill \ end{gathered} right. Rightarrow SA bot (SBC).$
Vì vậy $R=sqrt{R_{SBC}^{2}+{{left( frac{SA}{2} right)}^{2}}}=sqrt{{{left( frac{BC}{2sin widehat{BSC}} right)}^{2}}+{{left( frac{SA}{2} right)}^{2}}}=sqrt{{{left( frac{a}{2frac{sqrt{3}}{2}} right)}^{2}}+{{left( frac{a}{2} right)}^{2}}}=sqrt{frac{7}{12}}a.$
Diện tích mặt cầu $S=4pi {{R}^{2}}=frac{7pi {{a}^{2}}}{3}.$ Chọn đáp án B.
Công thức 2: Khối tứ diện vuông (đây là trường hợp đặc biệt của công thức 1)
Khối tứ diện vuông $OABC$ có $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc có [R=frac{sqrt{O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}}}{2}.]
Ví dụ 1:Khối tứ diện $OABC$ có $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc và có bán kính mặt cầu ngoại tiếp bằng $sqrt{3}.$ Thể tích lớn nhất của khối tứ diện $OABC$ bằng
A. $frac{4}{3}.$ | B. $8.$ | C. $frac{8}{3}.$ | D. $8.$ |
Giải. Ta có $R=frac{sqrt{O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}}}{2}=sqrt{3}Leftrightarrow O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}=12.$
[external_link offset=1]Mặt khác ${{V}_{OABC}}=frac{1}{6}.OA.OB.OC$ và theo bất đẳng thức AM – GM ta có:
[12=O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}ge 3sqrt[3]{O{{A}^{2}}.O{{B}^{2}}.O{{C}^{2}}}Rightarrow OA.OB.OCle 8.]
Do đó ${{V}_{OABC}}le frac{8}{6}=frac{4}{3}.$ Chọn đáp án A.
>>Xem thêm về BĐT AM - GM tại đây
Công thức 3: Khối lăng trụ đứng có đáy là đa giác nội tiếp (đây là trường hợp đặc biệt của công thức 1)
$R=sqrt{R_{d}^{2}+{{left( frac{h}{2} right)}^{2}}}.$
Trong đó ${{R}_{d}}$ là bán kính ngoại tiếp đáy; $h$ là độ dài cạnh bên.
Ví dụ 1.Cho mặt cầu bán kính $R$ ngoại tiếp một hình lập phương cạnh $a.$ Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. $a=frac{sqrt{3}R}{3}.$ | B. $a=2R.$ | C. $a=frac{2sqrt{3}R}{3}.$ | D. $a=2sqrt{3}R.$ |
Trích đề thi THPT Quốc gia 2017 – Câu 29 – mã đề 124
Giải. Ta có $R=sqrt{R_{d}^{2}+{{left( frac{h}{2} right)}^{2}}}=sqrt{{{left( frac{a}{sqrt{2}} right)}^{2}}+{{left( frac{a}{2} right)}^{2}}}=frac{asqrt{3}}{2}.$ Vậy $a=frac{2sqrt{3}R}{3}.$ Chọn đáp án C.
Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ tam giác đều [ABC.A'B'C'] có các cạnh đều bằng [a]. Tính diện tích [S]của mặt cầu đi qua$$ $6$ đỉnh của hình lăng trụ đó.
A.[S=dfrac{49pi {{a}^{2}}}{144}.]
B. [S=dfrac{7{{a}^{2}}}{3}.]
C.[S=dfrac{7pi {{a}^{2}}}{3}.]
D. [S=dfrac{49{{a}^{2}}}{144}.]
Giải. Có $S=4pi {{R}^{2}}=4pi left( R_{d}^{2}+{{left( dfrac{h}{2} right)}^{2}} right)=4pi left( {{left( dfrac{a}{sqrt{3}} right)}^{2}}+{{left( dfrac{a}{2} right)}^{2}} right)=dfrac{7pi {{a}^{2}}}{3}.$ Chọn đáp án C.
Công thức 4: Công thức cho khối tứ diện có các đỉnh là đỉnh của một khối lăng trụ đứng $R=sqrt{R_{d}^{2}+{{left( frac{h}{2} right)}^{2}}}.$
Khối tứ diện $({{H}_{1}})$ có các đỉnh là đỉnh của khối lăng trụ đứng $({{H}_{2}}),$ khi đó ${{R}_{({{H}_{1}})}}={{R}_{({{H}_{2}})}}=sqrt{R_{d}^{2}+{{left( frac{h}{2} right)}^{2}}}.$
Ví dụ 1: Cho khối lăng trụ đứng có chiều cao $h$ không đổi và đáy là tứ giác $ABCD,$ trong đó $A,B,C,D$ thay đổi sao cho $overrightarrow{IA}.overrightarrow{IC}=overrightarrow{IB}.overrightarrow{ID}=-{{h}^{2}},$ với $I$ là giao điểm của hai đường chéo. Xác định giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ đã cho.
Giải.
![[Vted.vn] - Tổng hợp tất cả các công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện | Học toán online chất lượng cao 2021 | Vted](https://traloitructuyen.com/wp-content/uploads/2021/07/636475056164853599gmAXFaGKZRz.png)
Ta có $R=sqrt{R_{d}^{2}+{{left( frac{h}{2} right)}^{2}}},$ trong đó $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy thì ta có
$overrightarrow{IA}.overrightarrow{IC}=overrightarrow{IB}.overrightarrow{ID}=-{{h}^{2}}=O{{I}^{2}}-R_{d}^{2}Leftrightarrow R_{d}^{2}=O{{I}^{2}}+{{h}^{2}}ge {{h}^{2}}.$
Do đó $Rge sqrt{{{h}^{2}}+frac{{{h}^{2}}}{4}}=frac{hsqrt{5}}{2}.$
Chọn đáp án C. Dấu bằng đạt tại $Oequiv I.$
Công thức 5: Công thức cho khối chóp có mặt bên vuông góc đáy $R = sqrt {R_d^2 + {{left( {dfrac{a}{2}.cot x} right)}^2}} $ trong đó ${{R}_{d}}$ là bán kính ngoại tiếp đáy; $a,x$ tương ứng là độ dài đoạn giao tuyến của mặt bên và đáy, góc ở đỉnh của mặt bên nhìn xuống đáy.
Hoặc có thể sử dụng công thức $R=sqrt{R_{d}^{2}+R_{b}^{2}-frac{{{a}^{2}}}{4}},$ trong đó ${{R}_{b}}$ là bán kính ngoại tiếp của mặt bên và $a$ tương ứng là độ dài đoạn giao tuyến của mặt bên và đáy.
Ví dụ 1: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông, tam giác $SAD$ đều cạnh $sqrt{2}a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính bán kính $R$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD.$
A. $R=dfrac{asqrt{10}}{2}.$ | B. $R=dfrac{asqrt{42}}{6}.$ | C. $R=dfrac{asqrt{6}}{4}.$ | D. $R=sqrt{2}a.$ |
Giải. Ta có $R=sqrt{{{left( dfrac{sqrt{2}a}{sqrt{2}} right)}^{2}}+{{left( dfrac{sqrt{2}a}{2}.cot {{60}^{0}} right)}^{2}}}=sqrt{{{left( frac{sqrt{2}a}{sqrt{2}} right)}^{2}}+{{left( frac{sqrt{2}a}{2sqrt{3}} right)}^{2}}}=frac{asqrt{42}}{6}.$
Chọn đáp án B.
Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A.$ Biết $AB=A{A}'=a,$ $AC=2a.$ Gọi $M$ là trung điểm của $AC.$ Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $M{A}'{B}'{C}'$ bằng
A. $5pi {{a}^{2}}.$
B. $3pi {{a}^{2}}.$
C. $4pi {{a}^{2}}.$
D. $2pi {{a}^{2}}.$
[external_link offset=2]Giải. Chóp $M.{A}'{B}'{C}'$ có mặt bên $(M{A}'{C}')bot ({A}'{B}'{C}')$ do đó
$S=4pi {{R}^{2}}=4pi left( R_{{A}'{B}'{C}'}^{2}+R_{M{A}'{C}'}^{2}-{{left( dfrac{{A}'{C}'}{2} right)}^{2}} right)=4pi left( {{left( dfrac{sqrt{5}a}{2} right)}^{2}}+{{a}^{2}}-{{left( dfrac{2a}{2} right)}^{2}} right)=5pi {{a}^{2}}.$
trong đó ${{R}_{{A}'{B}'{C}'}}=dfrac{{B}'{C}'}{2}=dfrac{sqrt{5}a}{2};M{A}'=M{C}'=sqrt{2}a,{A}'{C}'=2aRightarrow M{A}'bot M{C}'Rightarrow {{R}_{M{A}'{C}'}}=dfrac{{A}'{C}'}{2}=a.$
Chọn đáp án A.
![[Vted.vn] - Tổng hợp tất cả các công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện | Học toán online chất lượng cao 2021 | Vted](https://traloitructuyen.com/wp-content/uploads/2021/07/636873444298699656UWwPNkOGJVh.jpg)
Công thức 6: Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau có $R=dfrac{c{{b}^{2}}}{2h},$ trong đó $cb$ là độ dài cạnh bên và $h$ là chiều cao khối chóp, được xác định bởi $h=sqrt{c{{b}^{2}}-R_{d}^{2}}.$
Ví dụ 1.Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện đều cạnh $sqrt{3}a.$
A. $R=frac{asqrt{6}}{4}.$ | B. $R=frac{asqrt{3}}{2}.$ | C. $R=frac{3sqrt{2}a}{4}.$ | D. $R=frac{3a}{4}.$ |
Giải.Ta có $cb=sqrt{3}a,h=sqrt{c{{b}^{2}}-R_{d}^{2}}=sqrt{3{{a}^{2}}-{{left( frac{sqrt{3}a}{sqrt{3}} right)}^{2}}}=sqrt{2}aRightarrow R=frac{3{{a}^{2}}}{2sqrt{2}a}=frac{3sqrt{2}a}{4}.$ Chọn đáp án C.
Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $sqrt{3}$ và cạnh bên bằng $x$ với $x>1.$ Thể tích của khối cầu xác định bởi mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ có giá trị nhỏ nhất thuộc khoảng nào dưới đây?
A. $(7;3pi ).$
B. $(0;1).$
C. $(1;5).$
D. $(5;7).$
Giải. Áp dụng công thức tính cho trường hợp chóp có các cạnh bên bằng nau thể tích khối cầu xác định bởi
$V=dfrac{4}{3}pi {{R}^{3}}=dfrac{4}{3}pi {{left( dfrac{c{{b}^{2}}}{2h} right)}^{3}}=dfrac{4}{3}pi {{left( dfrac{{{x}^{2}}}{2sqrt{{{x}^{2}}-{{left( dfrac{sqrt{3}}{sqrt{3}} right)}^{2}}}} right)}^{3}}=g(x)=pi dfrac{{{x}^{6}}}{6sqrt{{{({{x}^{2}}-1)}^{3}}}}ge underset{(1;+infty )}{mathop{min }},g(x)=g(sqrt{2})=dfrac{4pi }{3}.$ Chọn đáp án C.
Công thức 7:Khối tứ diện gần đều $ABCD$ có $AB=CD=a,AC=BD=b,AD=BC=c$ có $R=sqrt{frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{8}}.$
Xem thêm Ví dụ và công thức nhanh cho trường hợp khối chóp bất kì tại khoá học do Vted phát hành: https://vted.vn/khoa-hoc/nhom/combo-4-khoa-luyen-thi-thpt-quoc-gia-2019-mon-toan-danh-cho-teen-2k1-2
Bạn đọc cần bản PDF của bài viết này hãy để lại Bình luận trong phần Bình luận ngay bên dưới Bài viết này Vted sẽ gửi cho các bạn
>>Xem thêm Tổng hợp các công thức tính nhanh số phức rất hay dùng- Trích bài giảng khoá học PRO X tại Vted.vn
