I. Lý thuyết và các kiến thức bổ sung
1. Định nghĩa:
[left| f(x) right|=left{ begin{matrix}
f(x) \
-f(x) \
end{matrix}begin{matrix}
khi \
khi \
end{matrix} right.begin{matrix}
f(x)ge 0 \
f(x)
2. Dấu nhị thức bậc nhất: f(x)=ax+b
| x | -b/a | ||
| f(x) | a.f(x) < 0 | a.f(x) > 0 |
3. Dấu tam thức bậc 2: $mathbf{f}left( mathbf{x} right)=text{ }mathbf{a}{{mathbf{x}}^{mathbf{2}}}+mathbf{bx}+mathbf{c}$
$+)Delta <0:af(x)>0;forall xin R$
$+)Delta =0:af(x)>0;forall xne -frac{b}{2a}$
$+)Delta >0:left[ begin{matrix}
a.f(x)>0;forall xin left( -infty ;{{x}_{1}} right)cup left( {{x}_{2}};+infty right) \
a.f(x)<0;forall xin left( {{x}_{1}};{{x}_{2}} right) \
end{matrix} right.$
Với x1;x2 là nghiệm của f(x)=0 và x1<x2.Ta có bảng xét dấu sau:
Bảng xét dấu
| x | x1 | x2 | |||
| f(x) | a.f(x) > 0 | a.f(x) < 0 | a.f(x) > 0 |
II. Dạng cơ bản và phương pháp giải
1. Dạng cơ bản thường gặp
Dạng 1. $left| f(x) right|>left| g(x) right|$
Dạng 2. $left| f(x) right|>g(x)$
Dạng 3. $left| {f(x)} right| < g(x)$
2. Phương pháp giải
Phương pháp 1. Khử căn bằng định nghĩa.
$left| {f(x)} right| = left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{begin{array}{*{20}{c}}
{f(x)}&{khi}&{f(x) > 0}
end{array}}\
{begin{array}{*{20}{c}}
{ – f(x)}&{khi}&{f(x)
Phương pháp 2. Phương pháp lập bảng.
Sử dụng kết hợp bảng xét dấu của nhị thức bậc nhất, dấu tam thức bậc hai để khử trị tuyệt đối.
Phương pháp 3. Biến đổi tương đương.
a)$BPT:left| {f(x)} right| > left| {g(x)} right| Leftrightarrow {left( {f(x)} right)^2} > {left( {g(x)} right)^2}$
b)$left| {f(x)} right| > g(x) Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}} {g(x) {g^2}(x)} end{array}} right.} end{array}} right.$
c)$left| {f(x)} right| 0}\
{{{left[ {f(x)} right]}^2}
III. Ví dụ minh họa
Phương pháp 1: Khử trị tuyệt đối bằng định nghĩa.
Ví dụ 1:
Giải bất phương trình sau: $left| 2-5x right|ge x+1$
Giải:
- Trường hợp 1: $2-5xge 0Leftrightarrow xle frac{2}{5}$
Bất phương trình có dạng: $2-5xge x+1Leftrightarrow 6xle 1Leftrightarrow xle frac{1}{6}$ .
Kết hợp điều kiện: $xin left( -infty ;frac{1}{6} right]$ (1)
- Trường hợp 2: $2-5x<0Leftrightarrow x>frac{2}{5}$
Bất phương trình có dạng: $5x-2ge x+1Leftrightarrow 4xge 3Leftrightarrow xge frac{3}{4}$
Kết hợp điều kiện: $xin left[ frac{3}{4};+infty right)$ (2)
- Từ (1) và (2) suy ra bất phương trình có nghiệm : $xin left( -infty ;frac{1}{6} right]cup left[ frac{3}{4};+infty right)$.
Ví dụ 2:
Giải bất phương trình sau: ${{x}^{2}}-left| x-3 right|-5ge 0$
[external_link offset=1]Giải
• Trường hợp 1: $x-3ge 0Leftrightarrow xge 3$
Bất phương trình có dạng: ${{x}^{2}}-x-2ge 0Leftrightarrow left[ begin{matrix}
xle -1 \
xge 2 \
end{matrix} right.$
Kết hợp điều kiện: $xge 3$ (1).
• Trường hợp 2: $x-3
Phương pháp 2: Khử trị tuyệt đối bằng bảng
Ví dụ 1:
Giải bất phương trình sau: $left| x-3 right|+left| x-1 right|ge x+1$
Giải
Trước tiên ta lưu ý: x 1 3 x-3 – | – + x-1 – + | +
Bước 1: Lập bảng khử trị tuyệt đối vế trái. x 1 3 |x-3| 3-x 2 3-x x-3 |x-1| 1-x x-1 2 x-1 VT 4-2x 2 2 2 2x-4
Bước 2: Từ bảng khử trị tuyệt đối ta có các trường hợp sau:
• Với $xin left( -infty ;1 right)$ :
Bất phương trình $Leftrightarrow left{ begin{matrix}
x
• Với $xge 3$ :
Bất phương trình $Leftrightarrow left{ begin{matrix}
xge 3 \
2x-4ge x+1 \
end{matrix} right.Leftrightarrow left{ begin{matrix}
xge 3 \
xge 5 \
end{matrix} right.Leftrightarrow xge 5$ (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra bất phương trình có nghiệm: $xin left( -infty ;1 right]cup left[ 5;+infty right)$.
Ví dụ 2:
Giải bất phương trình: $left| 3x-left| x-1 right| right|ge x+2$
Giải
- Bước 1: Lập bảng phá trị tuyệt đối vế trái
| x | 1/4 | 1 | |||
| |x-1 | 1-x | 1-x | 3 | x-1 | |
| |3x-|x-1|| | |4x-1| | |4x-1| | 3 | |2x+1| | |
| VT | 1-4x | 4x-1 | 3 | 2x+1 |
Bước 2: Dựa vào bảng trên ta có các trường hợp sau:
* Trường hợp 2: Với $frac{1}{4}le x
* Trường hợp 3: Với $xge 1$
Bất phương trình [Leftrightarrow left{ begin{matrix}
xge 1 \
2x+1ge x+2 \
end{matrix} right.Leftrightarrow left{ begin{matrix}
xge 1 \
xge 1 \
end{matrix}Leftrightarrow right.xge 1] (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra bất phương trình có nghiệm: $xin left( -infty ;-frac{1}{5} right]cup left[ 1;+infty right)$.
Phương pháp 3: Sử dụng phép biến đổi tương đương
Ví dụ 1:
Giải bất phương trình sau: $left| 2x-1 right|>left| x-2 right|$
Giải
Bpt $Leftrightarrow {{left( 2x-1 right)}^{2}}>{{left( x-2 right)}^{2}}Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-3>0Leftrightarrow left[ begin{matrix}
x1 \
end{matrix} right.$ .
Lưu ý:
$begin{array}{l}
left| {2x – 1} right| > left| {x – 2} right|\
Leftrightarrow {left( {2x – 1} right)^2} > {left( {x – 2} right)^2}\
Leftrightarrow {left( {2x – 1} right)^2} – {left( {x – 2} right)^2} > 0\
Leftrightarrow left( {x + 1} right)left( {3x – 3} right) > 0\
Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{x 1}
end{array}} right.
end{array}$
Ví dụ 2:
Giải bất phương trình sau: $left| 2-5x right|ge x+1$
Giải
BPT$begin{array}{l}
Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{x + 1
Tổng quát: $left| f right|>gLeftrightarrow left[ begin{matrix}
gg \
f
Ví dụ 3:
Giải bất phương trình sau: $left| 3x+1 right|le x-2$
[external_link offset=2]Giải
$begin{array}{l}
left| {3x – 1} right| le x + 2\
Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{x + 2 ge 0}\
{3x – 1 le x + 2}\
{3x – 1 ge – x – 2}
end{array}} right.\
Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{x ge – 2}\
{2x le 3}\
{4x ge – 1}
end{array}} right.\
Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{x ge – 2}\
{x le frac{3}{2}}\
{x ge – frac{1}{4}}
end{array}} right.\
Leftrightarrow – frac{1}{4} le x le frac{3}{2}
end{array}$
Tổng quát:
$left| {f(x)} right| 0}\
{{{left[ {f(x)} right]}^2}
Bài luyện tập
Giải các bất phương trình sau:
$a)left| 4x-1 right|le left| 2x+3 right|$
$b)left| 3x+5 right|ge 2x-1$
$c)left| 5-3x right|le x+3$
$d){{x}^{2}}-2left| x-1 right|+1le 0$
$e)left| x+3 right|+left| x-1 right|le 2x-1$
$f)left| x-left| x-1 right| right|+left| 2x-left| x-3 right| right|ge x+1$
—————————————
Download tài liệu:
PDF-Tại đây
Word-Tại đây:
———————————-
Xem thêm:
- Phương pháp tính tích phân các hàm chứa ẩn dưới dấu trị tuyệt đối
- Phương pháp giải bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai.
- Phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu trị tuyệt đối
- Phương pháp giải Bất phương trình chứa ẩn dưới dấu trị tuyệt đối
——————————— [external_footer]
