Phương trình bậc 2 có nghiệm khi nào? Khi đó delta cần thỏa điều kiện gì? |Traloitructuyen.com

Or you want a quick look: I. Phương trình bậc 2 - kiến thức cơ bản cần nhớ

Traloitructuyen.com cũng giúp giải đáp những vấn đề sau đây:

 

Khi các em học tới phương trình bậc 2 một ẩn, thì việc ghi nhớ cách tính biệt thức delta là điều tất nhiên có vai trò chính để giải được phương trình bậc 2, cách tính biệt thức delta này các em đã ghi nhớ nằm lòng chưa?

Bài viết này sẽ trả lời cho các em câu hỏi: Phương trình bậc 2 có nghiệm khi nào? khi đó delta thỏa điều kiện gì?.

https://youtu.be/HAcg2CxiEQg

 

I. Phương trình bậc 2 - kiến thức cơ bản cần nhớ

• Xét phương trình bậc hai: ax² + bx + c = 0 (a≠0)

• Công thức nghiệm tính delta (ký hiệu: Δ)

Δ = b² - 4ac

+ Nếu Δ > 0: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

+ Nếu Δ = 0: Phương trình có nghiệm kép:

+ Nếu Δ < 0: Phương trình vô nghiệm.

• Công thức nghiệm thu gọn tính Δ' (chỉ tính Δ' khi hệ số b chẵn).

Δ = b'² - ac với b = 2b'.

+ Nếu Δ' > 0: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

+ Nếu Δ' = 0: Phương trình có nghiệm kép:

+ Nếu Δ' < 0: Phương trình vô nghiệm.

→ Vậy nếu hỏi: Phương trình bậc 2 có nghiệm khi nào?

- Trả lời: Phương trình bậc 2 có nghiệm khi biệt thức delta ≥ 0. (khi đó phương trình có nghiệm kép, hoặc có 2 nghiệm phân biệt).

> Lưu ý: Nếu cho phương trình ax² + bx + c = 0 và hỏi phương trình có nghiệm khi nào? thì câu trả lời đúng phải là: a=0 và b≠0 hoặc a≠0 và Δ≥ 0.

• Thực tế đối với bài toán giải phương trình bậc 2 thông thường (không chứa tham số), thì chúng ta chỉ cần tính biệt thức delta là có thể tính toán được nghiệm. Tuy nhiên bài viết này đề sẽ đề cập đến dạng toán hay làm các em bối rối hơn, đó là tìm điều kiện để phương trình bậc 2 có chứa tham số m có nghiệm.

II. Một số bài tập tìm điều kiện để phương trình bậc 2 có nghiệm

* Phương pháp giải:

- Xác định các hệ số a, b, c của phương trình, đặc biệt là hệ số a. Phương trình ax² + bx + c = 9 là phương trình bậc 2 chỉ khi a≠0.

- Tính biệt thức delta: Δ = b² - 4ac

- Xét dấu của biệt thức để kết luận sự tồn tại nghiệm, hoặc áp dụng công thức để viết nghiệm.

* Bài tập 1: Chứng minh rằng phương trình: 2x² - (1 - 2a)x + a - 1 = 0 luôn có nghiệm với mọi giá trị của a.

* Lời giải:

- Xét phương trình: 2x² - (1 - 2a)x + a - 1 = 0 có:

a = 2; b = -(1 - 2a) = 2a - 1; c = a - 1.

Δ = (2a - 1)² - 4.2.(a - 1) = 4a² - 12a + 9 = (2a - 3)².

- Vì Δ ≥ 0 với mọi a nên phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi a.

* Bài tập 2: Cho phương trình mx² - 2(m - 1)x +  m - 3 = 0 (*). Tìm giá trị của m để phương trình trên có nghiệm.

* Lời giải:

- Nếu m = 0 thì phương trình đã cho trở thành: 2x - 3 = 0 là phương trình bậc nhất một ẩn, có nghiệm x = 3/2.

- Xét m ≠ 0. Khi đó phương trình đã cho là phương trình bậc 2 một ẩn, khi đó, ta có:

a = m; b = -2(m - 1); c = m - 3.

Và Δ = [-2(m-1)]² - 4.m.(m-3) = 4(m² - 2m + +84888672676m² - 12m)

= 4m² - 8m + 4 - 4m² + 12m = 4m + 4

- Như vậy, m = 0 thì pt (*) có nghiệm và với m ≠ 0 để phương trình (*) có nghiệm thì Δ≥0 ⇔ 4m + 4 ≥ 0 ⇔ m ≥ -1.

⇒ Kết luận: Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi m ≥ -1.

* Bài tập 3: Chứng minh rằng phương trình x² - 2(m + 4)x + 2m + 6 = 0 luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.

* Bài tập 4: Xác định m để các phương trình sau có nghiệm: x² - mx - 1 = 0.

* Bài tập 5: Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm: 3x² + (m - 2)x + 1 = 0.

* Bài tập 6: Tìm điều kiện của m để phương trình sau có nghiệm: x² - 2mx - m + 1 = 0.

* Bài tập 7: Với giá trị nào của m thì phương trình sau: mx² - 4(m - 1)x + 4m + 8 = 0 có nghiệm.

Như vậy với bài viết đã giải đáp được thắc mắc: Phương trình bậc 2 có nghiệm khi nào? khi đó delta cần thỏa điều kiện gì? cùng các bài tập về tìm điều kiện để phương trình bậc 2 có nghiệm ở trên đã giúp các em dễ hiểu hơn hay chưa? Các em hãy cho góp ý và đánh giá ở dưới bài viết để chúng ta cùng trao đổi thêm nhé, chúc các em học tốt.

Phương trình bậc 2 một ẩn - Lý thuyết.

Phương trình bậc 2 một ẩn là gì?

 

Cho phương trình sau: ax²+bx+c=0 (a≠0), được gọi là phương trình bậc 2 với ẩn là x.

Công thức nghiệm: Ta gọi Δ=b²-4ac.Khi đó:

• Δ>0: phương trình tồn tại 2 nghiệm:.

• Δ=0, phương trình có nghiệm kép x=-b/2a
• Δ<0, phương trình đã cho vô nghiệm.

Trong trường hợp b=2b’, để đơn giản ta có thể tính Δ’=b’²-ac, tương tự như trên:

• Δ’>0: phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

• Δ’=0: phương trình có nghiệm kép x=-b’/a
• Δ’<0: phương trình vô nghiệm.

 

Định lý Viet và ứng dụng trong phương trình bậc 2 một ẩn.

 

Cho phương trình bậc 2 một ẩn: ax²+bx+c=0 (a≠0). Giả sử phương trình có 2 nghiệm x₁ và x₂, lúc này hệ thức sau được thỏa mãn:

Dựa vào hệ thức vừa nêu, ta có thể sử dụng định lý Viet để tính các biểu thức đối xứng chứa x₁ và x₂

• x₁+x₂=-b/a
• x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=(b²-2ac)/a²
• 
• …

Nhận xét: Đối với dạng này, ta cần biến đổi biểu thức làm sao cho xuất hiện (x₁+x₂) và x₁x₂ để áp dụng hệ thức Viet.

 

Định lý Viet đảo: Giả sử tồn tại hai số thực x₁ và x₂ thỏa mãn: x₁+x₂=S, x₁x₂=P thì x₁ và x₂ là 2 nghiệm của phương trình x²-Sx+P=0

 

Một số ứng dụng thường gặp của định lý Viet trong giải bài tập toán:

• Nhẩm nghiệm phương trình bậc 2: cho phương trình ax²+bx+c=0 (a≠0), 
  • Nếu a+b+c=0 thì phương trình có nghiệm x₁=1 và x₂=c/a
  • Nếu a-b+c=0 thì phương trình có nghiệm x₁=-1 và x₂=-c/a

• Phân tích đa thức thành nhân tử: cho đa thức P(x)=ax²+bx+c nếu x₁ và x₂ là nghiệm của phương trình P(x)=0 thì đa thức P(x)=a(x-x₁)(x-x₂)
• Xác định dấu của các nghiệm: cho phương trình ax²+bx+c=0 (a≠0), giả sử x₁ và x₂ là 2 nghiệm của phương trình. Theo định lý Viet, ta có:

• Nếu S<0, x1 và x₂ trái dấu.
• Nếu S>0, x₁ và x₂ cùng dấu:
  • P>0, hai nghiệm cùng dương.
  • P<0, hai nghiệm cùng âm.

II. Dạng bài tập về phương trình bậc 2 một ẩn:

Dạng 1: Bài tập phương trình bậc 2 một ẩn không xuất hiện tham số.

 

Để giải các phương trình bậc 2, cách phổ biến nhất là sử dụng công thức tính Δ hoặc Δ’, rồi áp dụng các điều kiện và công thức của nghiệm đã được nêu ở mục I.

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

1. x²-3x+2=0
2. x²+x-6=0

Hướng dẫn:

1. Δ=(-3)²-4.2=1. Vậy

Ngoài ra, ta có thể áp dụng cách tính nhanh: để ý 

suy ra phương trình có nghiệm là x₁=1 và x₂=2/1=2

1. Δ=1²-4.(-6)=25. Vậy

 

Tuy nhiên, ngoài các phương trình bậc 2 đầy đủ, ta cũng xét những trường hợp đặc biệt sau:

 

Phương trình khuyết hạng tử.

 

Khuyết hạng tử bậc nhất: ax²+c=0 (1).

Phương pháp:

• 
• Nếu -c/a>0, nghiệm là:

• Nếu -c/a=0, nghiệm x=0
• Nếu -c/a<0, phương trình vô nghiệm.

Khuyết hạng tử tự do: ax²+bx=0 (2). Phương pháp:

• 

Ví dụ 2:  Giải phương trình:

1. x²-4=0
2. x²-3x=0

Hướng dẫn:

1. x²-4=0 ⇔ x²=4 ⇔ x=2 hoặc x=-2
2. x²-3x=0 ⇔ x(x-3)=0 ⇔ x=0 hoặc x=3

 

Phương trình đưa về dạng bậc 2.

 

Phương trình trùng phương: ax⁴+bx²+c=0 (a≠0):

• Đặt t=x² (t≥0).
• Phương trình đã cho về dạng: at²+bt+c=0
• Giải như phương trình bậc 2 bình thường, chú ý điều kiện t≥0

Phương trình chứa ẩn ở mẫu:

• Tìm điều kiện xác định của phương trình (điều kiện để mẫu số khác 0).
• Quy đồng khử mẫu.
• Giải phương trình vừa nhận được, chú ý so sánh với điều kiện ban đầu.

Chú ý: phương pháp đặt  t=x² (t≥0) được gọi là phương pháp đặt ẩn phụ. Ngoài đặt ẩn phụ như trên, đối với một số bài toán, cần khéo léo lựa chọn sao cho ẩn phụ là tốt nhất nhằm đưa bài toán từ bậc cao về dạng bậc 2 quen thuộc. Ví dụ, có thể đặt t=x+1, t=x²+x, t=x²-1…

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:

1. 4x⁴-3x²-1=0
2. 

Hướng dẫn:

1. Đặt t=x² (t≥0), lúc này phương trình trở thành:

4t²-3t-1=0, suy ra t=1 hoặc t=-¼

• t=1 ⇔ x²=1  ⇔ x=1 hoặc x=-1.
• t=-¼ , loại do điều kiện t≥0

Vậy phương trình có nghiệm x=1 hoặc x=-1.

1. Ta có:

Dạng 2: Phương trình bậc 2 một ẩn có tham số.

 

Biện luận số nghiệm của phương trình bậc 2.

 

Phương pháp: Sử dụng công thức tính Δ, dựa vào dấu của Δ để biện luận phương trình có 2 nghiệm phân biệt, có nghiệm kép hay là vô nghiệm.

Ví dụ 4: Giải và biện luận theo tham số m: mx²-5x-m-5=0 (*)

Hướng dẫn:

Xét m=0, khi đó (*) ⇔ -5x-5=0 ⇔ x=-1

Xét m≠0, khi đó (*) là phương trình bậc 2 theo ẩn x.

• 
• Vì Δ≥0 nên phương trình luôn có nghiệm:
  • Δ=0  ⇔ m=-5/2, phương trình có nghiệm duy nhất.
  • Δ>0 ⇔ m≠-5/2, phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

Xác định điều kiện tham số để nghiệm thỏa yêu cầu đề bài.

 

Phương pháp: để nghiệm thỏa yêu cầu đề bài, trước tiên phương trình bậc 2 phải có nghiệm. Vì vậy, ta thực hiện theo các bước sau:

• Tính Δ, tìm điều kiện để Δ không âm.
• Dựa vào định lý Viet, ta có được các hệ thức giữa tích và tổng, từ đó biện luận theo yêu cầu đề.

Ví dụ 5: Cho phương trình x2+mx+m+3=0 (*). Tìm m để phương trình (*) có 2 nghiệm thỏa mãn:

Hướng dẫn:

Để phương trình (*) có nghiệm thì:

 

Khi đó, gọi x₁ và x₂ là 2 nghiệm, theo định lý Viet:

Mặt khác:

Theo đề:

Thử lại:

• Khi m=5, Δ=-7 <0 (loại)
• Khi m=-3, Δ=9 >0 (nhận)

vậy m = -3 thỏa yêu cầu đề bài.

Traloitructuyen.com cũng giúp giải đáp những vấn đề sau đây: