Trong những năm gần đây nhị thức Newton là một trong những nội dung thi đại học. Bài viết này nhằm giới thiệu hai dạng toán cơ bản nhất về nhị thức Newton thường gặp trong các đề thi đại học.
A. KIẾN THỨC LIÊN QUAN.
[external_link_head]B. CÁC DẠNG TOÁN.
DẠNG 1: Tìm số hạng chứa 
trong khai triển 
.
Phương pháp.
Ví dụ 1. Tìm hệ số của 
trong khai triển đa thức:
Lời giải.
Ta có 
.
Số hạng chứa tương ứng với số hạng chứa 
thỏa 
.
Vậy hệ số của số hạng chứa là 
.
Ví dụ 2. (D-04) Tìm số hạng không chứa 
trong khai triển thành đa thức của biểu thức:
Lời giải.
Ta có 
.
Số hạng không chứa tương ứng số hạng chứa thỏa 
.
Vậy số hạng không chứa là 
.
Ví dụ 3. (A-03) Tìm hệ số của số hạng chứa 
trong khai triển 
, biết:
Lời giải.
Theo giả thiết có:
.
Khi đó 
.
Số hạng chứa tương ứng số hạng chứa thỏa 
.
Vậy hệ số của số hạng chứa là 
.
Ví dụ 4. (A-04) Tìm hệ số của trong khai triển thành đa thức của biểu thức:
Lời giải.
Ta có khai triển: 
.
Số hạng chứa tương ứng số hạng chứa và 
thỏa 
.
Vì 
nên 
hoặc 
.
Vậy hệ số của số hạng chứa là 
.
DẠNG 2. Ứng dụng của nhị thức Newton trong các bài toán liên quan đến 
.
Phương pháp.
Ví dụ 5. (D-02) Tìm số nguyên dương 
thoả mãn hệ thức:
Lời giải.
Xét khai triển 
.
Chọn 
ta có 
.
Lại theo giả thiết ta có 
.
Ví dụ 6. (A-06) Tìm hệ số của 
trong khai triển 
, biết:
Lời giải.
Xét khai triển 
.
Chọn 
ta có 
.
Lại có 
nên 
.
Lại theo giả thiết có 
.
Khi đó 
.
Số hạng chứa tương ứng số hạng chứa thỏa 
.
Vậy hệ số của số hạng chứa là 
.
Ví dụ 7. (D-08) Tìm số nguyên dương thoả mãn hệ thức:
Lời giải.
Xét khai triển 
.
Chọn lần lượt và 
ta có 
.
Trừ theo vế (1) và (2) ta có 
.
Lại theo giả thiết có 
.
Ví dụ 8. (A-05) Tìm số nguyên dương thỏa mãn:
Lời giải.
Xét khai triển .
Lấy đạo hàm hai vế được 
.
Thay 
ta có 
.
Theo giả thiết ta có 
.
Ví dụ 9. Chứng minh rằng:
Lời giải.
Xét khai triển 
.
Lấy đạo hàm cấp hai hai vế ta có: 
.
Chọn ta có 
(đpcm).
Ví dụ 10. (B-03) Cho là số nguyên dương. Tính tổng:
Lời giải.
Xét khai triển .
Lấy tích phân từ 1 đến 2 cả hai vế ta có: 
.
Vậy 
.
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
1. Tìm hệ số của số hạng chứa 
trong khai triển biểu thức 
.
2. (A-2012) Cho là số nguyên dương thỏa mãn 
.
Tìm số hạng chứa 
trong khai triển nhị thức Newton của 
.
3. (A-02) Cho khai triển biểu thức
biết rằng trong khai triển đó 
và số hạng thứ tư bằng 
. Tìm và .
4. (D-07) Tìm hệ số của trong khai triển thành đa thức của biểu thức:
5. (D-03) Với là số nguyên dương, gọi 
là hệ số của 
trong khai triển thành đa thức của 
. Tìm để 
.
6. Tính tổng 
.
7. (B-07) Tìm hệ số của số hạng chứa 
trong khai triển biểu thức:
, biết 
8. (A-08) Cho khai triển:
và các hệ số 
thoả mãn hệ thức 
.
Tìm số lớn nhất trong các số .
9. Tính tổng 
.
10. Tính tổng 
.
11. Tìm số tự nhiên sao cho 
.
12. Tính tổng 
.
13. Tính tổng 
.
14. (A-07) Chứng minh rằng 
.
Xem và tải về bản PDF bài viết và lời giải các bài tập ở đây;
Tải về file TEX bài viết và lời giải các bài tập ở đây. [external_footer]
