Parabol là gì? Ứng dụng của Parabol trên lý thuyết và trong cuộc sống

Or you want a quick look: 1. Định nghĩa Parabol

1. Định nghĩa Parabol

• Điểm F được coi là tiêu điểm của Parabol
• Đường thẳng Δ được gọi là đường chuẩn của parabol.
• Khoảng cách từ F đến Δ được gọi là tham số tiêu của parabol.

Một parabol chỉ có một trục đối xứng duy nhất, đi qua tiêu điểm và vuông góc với đường chuẩn của nó. Giao điểm của trục này và parabol được gọi là đỉnh. Một parabol quay xung quanh trục của nó trong không gian ba chiều sẽ tạo ra một hình paraboloid.

2. Phương trình Parabol

2.1 Phương trình tổng quát của Parabol

Dạng tổng quát của phương trình Parabol có dạng:

(Ax + By)2 + Cx + Dy + E = 0

Phương trình này được rút ra từ phương trình tổng quát của các đường Conic và tính chất của đường parabol.

Trong thực thế, ta có thể thấy đường parabol là đồ thị của hàm số bậc 2 có dạng: y = ax2+ bx + c.Trong đó:

• Hoành độ của tiêu điểm x = -b2a
• Thay x vào phương trình tổng quát ta tính được y = c -b2 -14a

2.2 Phương trình chính tắc của Parabol

Phương trình chính tắc của Parabol được biểu diễn dưới dạng:

y2 = 2px (với p >0)

3. Cách vẽ Parabol

Làm thế nào để vẽ được đường Parabol chính xác nhất? Dưới đây mình sẽ chia sẻ cho các bạn chi tiết cách vẽ Parabol nhé!

3.1 Cách vẽ Parabol bằng thước và compa

• Bước 1: Khảo sát các điểm thuộc Parabol (Vì Parabol là đường đối xứng nhau nên chúng ta chỉ cần khảo sát 1 nửa parabol)
• Bước 2: Xác định trục đối xứng của Parabol (Kẻ đường thẳng đi qua điểm F cho trước và vuông góc với đường chuẩn), gọi giao điểm là O
• Bước 3: Lấy M là trung điểm của OF, chọn một điểm M1 bất kỳ thuộc đoạn MF. Kẻ đường thẳng đi qua M1 và song song với đường thẳng cho trước.
• Bước 4: Dùng Compa, quay 1 cung có bán kính OM1, cung và đường thẳng qua M1 cắt nhau ở đâu, ta được 1 điểm thuộc Parabol.
• Bước 5: Lấy thêm các điểm bất kỳ thuộc đoạn MF rồi làm tương tự các bước trên.
• Cuối cùng, ta nối các điểm thuộc parabol, là tạo thành đường parabol hoàn chỉnh.

3.2 Cách vẽ parabol thông qua đồ thị hàm số bậc 2

Trên thực tế, cách vẽ trên không được ứng dụng nhiều, thay vào đó, người ta thường biểu diễn parabol thông qua đồ thị hàm số bậc 2. Dưới đây mình sẽ giới thiệu cách vẽ hàm số bậc 2 nhé! Ví dụ hàm số bậc 2 có dạng: y = ax2 + bx + c (a # 0)

• Bước 1: Xác định tọa độ của đỉnh, hoành độ x = -b2a, tung độ y = -4a(một cách dễ dàng hơn, sau khi tính được hoành độ x, ta thay vào phương trình sẽ tim ra tung độ y.
• Bước 2: Vẽ trục đối xứng (đi qua đỉnh và song song với trục tung)
• Bước 3: Tìm một số điểm đặc biệt thuộc đồ thị hàm số. Đơn giản các bạn chỉ cần chọn các giá trị khác nhau của x, thay vào phương trình sẽ tìm ra y. Các bạn nên tìm khoảng 5 đến 7 điểm khác nhau thuộc đồ thị hàm số, càng nhiều điểm thì độ chính xác càng cao. Sau đó nối các điểm vào với nhau là được đồ thị hàm số bậc 2 là một đường parabol.

Cách vẽ khá dễ dàng mà còn được áp dụng rất nhiều trong toán, đặc biệt là trong các đề thi không thể thiếu các câu hỏi về đồ thị hàm số, các bạn lưu ý nhé!

4. Cách viết phương trình Parabol

Để viết được phương trình Parabol, trước hết ta cần giả sử dạng của Parabol theo phương trình tổng quát: y = ax2 + bx + c (a # 0). Sau đó, dựa theo các điều kiện của đề bài ra để tìm ra các hệ số a,b,c. Một số điều kiện thường gặp có thể kể đến như:

• Cho Parabol đi qua một điểm cố định A(x0,y0), ta có y = ax02 + bx0 + c
• Cho biết tọa độ đỉnh I(x0,y0), thay tọa độ vào công thức đỉnh ứng với các hệ số
• Cho biết trục đối xứng là x = x0, ta có x0 = -b2a

Ví dụ parabol

Xác định parabol y = ax ^2 + bx + 2, biết rằng parabol đó:

1. a) Đi qua hai điểm M(1; 5) và N(- 2; 8);
2. b) Đi qua hai điểm A(3;- 4) và có trục đối xứng là x=-3/2
3. c) Có đỉnh là I(2;- 2);
4. d) Đi qua điểm B(- 1; 6) và tung độ của đỉnh là -1/4
5. a) M(1; 5) ∈ (P) nên tọa độ của M thỏa mãn parabol:yM = (axM) ^2 + bxM + 2 ↔ 5 = a.12 + b.1 + 2. (1)

N(- 2; 8) ∈ (P) nên tọa độ của N thỏa mãn parabol:yN = (axN) ^2 + bxN + 2 ↔ 8 = a.(- 2)2 + b.(- 2) + 2 (2)

Giải hệ phương trình:(1) và (2) ta được a = 2, b = 1.

Vậy Parabol có phương trình là: y = 2×2 + x + 2.

1. b) Đi qua điểm A(3;- 4) và có trục đối xứng là x=-3/2

A(3;- 4) ∈ (P) nên tọa độ của A thỏa mãn parabol:yA = (axA) ^2 + bxA + 2 ↔ -4 = a.3 ^2 + b.3 + 2 (1)

y = ax ^2 + bx + 2 có trục đối x = -b/2a ↔ -3/2 = -b/2a ↔ b = 3a (2)

Giải hệ phương trình (1) và (2) ta có a = -1/3, b = -1

Parabol: y = -1/3x ^2 – x + 2.

1. c) Cho hàm số y = ax ^ 2 + bx + 2

Tọa độ đỉnh của hàm số là I(-b/2a; -Δ/4a). Theo đề bài cho tọa độ đỉnh là I(2;- 2)

-b/2a = 2 ↔ -b = 4a (1)

-Δ/4a = – 2 ↔ -(b2 – 8a )= -8a (2)

Giải hệ phương trình (1) và (2) ta thu được kết quả là b = 0 và b = -4

với b = 0 → a = 0 → y = 2 là 1 đường thẳng (loại)

với b = -4 → a = 1

Kết luận Parabol cần tìm là Parabol: y = (x)^2 – 4x + 2.

1. d) Đi qua điểm B(- 1; 6) và tung độ của đỉnh là -1/4

B(- 1; 6) ∈ (P) nên tọa độ của B thỏa mãn parabol:yB = (axB)^2 + bxB + 2 ↔ 6 = a.(-1)2 + b.(-1) + 2

Tọa độ đỉnh I(-b/2a; -Δ/4a) tung độ của tọa độ đỉnh là yI = -Δ/4a = -1/4 ↔ – (b2 – 8a )= -a (2)

Giải hệ phương trình (1) và (2) thu được kết quả

a = 16 →b = 12

a = 1 → b = -3

Parabol: y = 16x ^2 + 12x + 2 hoặc y = x2 – 3x + 2.

Các bài tập về parabol

Bài 1: Cho Parabol (P): y = 2x ^2

1. a) Vẽ đồ thị hàm (P)
2. b) Tìm giao điểm của (P) với đường thẳng y = 2x+1.

Bài 2: Cho (P): Y = 1/ 2X^2 và đường thẳng (d); y = ax+b.

1. a) Xác định điểm a và b để đường thẳng (d) đi qua A(-1;0) và tiếp xúc với (P).
2. b) Tìm tọa độ tiếp điểm.

5. Ứng dụng của Parabol trong cuộc sống

Ứng dụng của parabol trong đời sống – Xây dựng

Người ta làm cầu có hình dạng parapol với bề lõm quay xuống dưới để lực mà cây cần gánh chịu được chia đều sang hai bên chân cầu, để giảm lực lên cả cây cầu và giúp cầu khó bị sập hơn. Vì trên mặt cầu hình dạng parabol thì xe luôn có khuynh hướng đi theo phương tiếp tuyến của mặt cầu làm lực tác dụng lên mặt cầu càng nhỏ.

Tại các công viên vui chơi giải trí, đường ray tàu lượng siêu tốc được thiết kế theo các cung đường parabol để tăng cảm giác mạnh cho người chơi đồng thời tạo động lực cho tàu di chuyển.

Ứng dụng của parabol trong đời sống – Chế tạo mặt kính

Ứng dụng parabol trong chế tạo kính thiên văn phản xạ vì bộ phận quan trọng nhất của kính thiên văn phản xạ là gương cầu và gương cầu đó phải được chế tạo theo dạng parabol là tốt nhất. Khi đó thì kinh thiên văn mới phản chiếu chính xác nhất vật về tiêu điểm gương (tia tới song song với trục chính).

Đèn pin, đèn chiếu sáng là dạng mặt cầu parabol giúp ánh sáng lan tỏa xa và mạnh hơn so với mặt cầu phẳng bình thường.

Ứng dụng của parabol trong đời sống – Anten Parabol

Gương parabol là một tấm gương hoặc các mảnh kim loại có khả năng phản chiếu và hội tụ ánh sáng hay các loại sóng điện từ khác tại một điểm. Tính chất này của gương parabol đã được phát hiện ra vào thế kỉ thứ ba trước công nguyên bởi nhà khoa học Archimedes và được áp dụng để tạo ra kính viễn vọng vào thế kỉ 17. Ngày nay, gương mang hình parabol được sử dụng rất rông rãi như ăng ten vi sóng và chảo vệ tinh.

Anten parabol hay lòng chảo parabol là một trong những ứng dụng phổ biến nhất của parabol trong đời sống thực tế. Dựa vào gương parabol người ta có thể chiếu sóng đi theo một hướng nhất định nhằm mục đích tăng cường mật độ năng lượng để nó có khả năng phát đi thật xa. Có khi phát thì từ một điểm, các tia sóng sẽ được phản xạ rồi đi song song với nhau không bị tản xạ mọi phía như trường hợp phát sóng tự do trong không gian không dùng gương parabol.

Phân loại Anten parabol: Anten parabol hiện nay có 2 loại chính là:

• Anten một gương: Đó là một gương Parabol, tại tiêu điểm F của nó đặt một ống phát sóng hoặc thu sóng.
• Anten hai gương (Còn gọi là ăng ten cassagrain) ăng ten này có tính chất định hướng cao hơn ăng ten một gương. Nó gồm một gương parabol lớn và gương nhỏ hyberbol. Gương hypebol có 2 tiêu điểm F1 và F2 tập trung sóng điện vào ống phát hoặc thu. Tiêu điểm F1 trùng với tiêu điểm của gương lớn Parabol. Ở hình vẽ là chế độ thu sóng trong không gian chạm vào mặt gương lớn nó liền phản xạ lại gương nhỏ đến lượt gương nhỏ lại phản hồi sóng này vào ống thu.

Tóm lại các loại Anten Parabol có khả năng gom thu tín hiệu rất lớn nó không như loại ăng ten vô hướng chỉ nhận sóng một cách thụ động. Chính vì lý do này làm cho tín hiệu được nhân lên rất mạnh. Nó được ứng dụng trong thu sóng vệ tinh, sóng viba, rada…

Ứng dụng parabol trong đời sống – Nghiên cứu

Người ta thiết kế các quỹ đạo bay theo hình parabol để tạo môi trường phi trọng lực cho mục đích thí nghiệm, ví dụ như các “Vomit Comet” của NASA bay theo một quỹ đạo parabol đứng trong một thời gian ngắn, bằng cách đó tạo ra môi trường không trọng lực phục vụ nghiên cứu.

Các nhà khoa học thậm chí còn sáng tạo ra một loại bếp đun hình hộp theo cơ chế mặt parabol để nấu ăn tiện lợi trong điều kiện có hoặc không có ánh sáng mặt trời.

Traloitructuyen.com cũng giúp giải đáp những vấn đề sau đây: