Công thức tổng quát tính thể tích của một khối tứ diện bất kì và các trường hợp đặc biệt |Traloitructuyen.com

Or you want a quick look: Công thức 1: Khối tứ diện đều

Bài viết này Traloitructuyen.com tổng hợp và giới thiệu lại một số công thức tính nhanh thể tích của khối tứ diện cho một số trường hợp đặc biệt hay gặp Đồng thời trình bày công thức tổng quát tính thể tích cho khối tứ diện bất kì khi biết độ dài tất cả 6 cạnh của tứ diện. Việc ghi nhớ các công thức này giúp các em giải quyết nhanh một số dạng bài khó về thể tích khối tứ diện trong đề thi THPT Quốc Gia 2019 - Môn Toán. [external_link_head] Công thức tổng quát: Khối tứ diện ABCDABCD có BC=a,CA=b,AB=c,AD=d,BD=e,CD=fBC=a,CA=b,AB=c,AD=d,BD=e,CD=f ta có công thức tính thể tích của tứ diện theo sáu cạnh như sau: V=112√M+N+P−Q, V=112M+N+P−Q, trong đó M=a2d2(b2+e2+c2+f2−a2−d2) N=b2e2(a2+d2+c2+f2−b2−e2) P=c2f2(a2+d2+b2+e2−c2−f2)Q=(abc)2+(aef)2+(bdf)2+(cde)2

Công thức 1: Khối tứ diện đều

Khối tứ diện đều cạnh $a,$ ta có $V=dfrac{{{a}^{3}}sqrt{2}}{12}.$ Ví dụ 1: Cho tứ diện đều có chiều cao bằng [h]. Thể tích của khối tứ diện đã cho là A.$V=\frac{\sqrt{3}{h}^3}{4}$. B. $V=\frac{\sqrt{3}{h}^3}{8}$. C. $V=\frac{\sqrt{3}{h}^3}{3}$. D. $V=\frac{2\sqrt{3}{h}^3}{3}$. Giải. Thể tích tứ diện đều cạnh V=√2a312. Chiều cao tứ diện đều là h=3VS=3(√2a312)√3a24=√23a⇒a=√32h. Vì vậyV=√212(√32h)3= Chọn đáp án B.

Công thức 2: Khối tứ diện vuông (các góc tại một đỉnh của tứ diện là góc vuông)

Với tứ diện ABCD có AB,AC,AD đôi một vuông góc và AB=a, AC=b, AD=c, ta có V=16abc.

Công thức 3: Khối tứ diện gần đều (các cặp cạnh đối tương ứng bằng nhau)

Vówi tứ diện $ABCD$ có $AB=CD=a,BC=AD=b,AC=BD=c$ ta có $V=\frac{\sqrt{2}}{12}.\sqrt{(a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)(a^2+c^2-b^2)}.$

Ví dụ 1: Chokhối tứ diện ABCD có AB=CD=8,AD=BC=5 và $AC=BD=7. Thể tích khối tứ diện đã cho bằng

Ví dụ 1: Cho khối tứ diện ABCDABCDcó AB=CD=8,AD=BC=5AB=CD=8,AD=BC=5 và AC=BD=7.AC=BD=7. Thể tích khối tứ diện đã cho bằng A. √303.303. B. 20√113.20113. C. √30.30. D. 20√11.2011.  Giải. Ta có VABCD=√212√(82+52−72)(52+72−82)(72+82−52)=20√113.VABCD=212(82+52−72)(52+72−82)(72+82−52)=20113. Chọn đáp án B. Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCDABCD có AB=CD=8,AD=BC=5AB=CD=8,AD=BC=5 và AC=BD=7.AC=BD=7. Gọi MM là trung điểm cạnh AB.AB.Khoảng cách từ điểm AA đến mặt phẳng (CMD)(CMD)bằng A. √312.312. B. √552.552. C. √212.212. D. √332.332. Giải. Ta có VAMCD=AMABVABCD=12VABCD=√224√(82+52−72)(52+72−82)(72+82−52)=10√113.VAMCD=AMABVABCD=12VABCD=224(82+52−72)(52+72−82)(72+82−52)=10113. Tam giác MCDMCD có CD=8CD=8 và theo công thức đường trung tuyến ta có: MC=√2(CA2+CB2)−AB24=√2(72+52)−824=√21.MC=2(CA2+CB2)−AB24=2(72+52)−824=21. và MD=√2(DA2+DB2)−AB24=√2(52+72)−824=√21.MD=2(DA2+DB2)−AB24=2(52+72)−824=21. Vậy SMCD=4√5.SMCD=45. Do đó d(A,(MCD))=3VAMCDSMCD=10√114√5=√552.d(A,(MCD))=3VAMCDSMCD=101145=552. Chọn đáp án B. Ví dụ 3: Khối tứ diện ABCDABCD có AB=CD=5a,AC=BD=6a,AD=BC=7aAB=CD=5a,AC=BD=6a,AD=BC=a có thể tích bằng

Công thức 4: Khối tứ diện có khoảng cách và góc giữa cặp cạnh đối diện của tứ diện

Tứ diện ABCDABCD có AD=a,BC=b,d(AD,BC)=d,(AD,BC)=α,AD=a,BC=b,d(AD,BC)=d,(AD,BC)=α, ta có V=16abdsinα.V=16abdsin⁡α. Ví dụ 1.Cho khối tứ diện ABCDABCD có AB=AC=BD=CD=1.AB=AC=BD=CD=1. Khi thể tích khối tứ diện ABCDABCD đạt giá trị lớn nhất thì khoảng cách giữa hai đường thẳng ADAD và BCBC bằng A. 2√3.23. B. 1√3.13. C. 1√2.12. D. 13.13.

Ví dụ 2: Cho hai mặt cầu (S1),(S2)(S1),(S2) có cùng tâm II và bán kính lần lượt R1=2,R2=√10.R1=2,R2=10. Xét tứ diện ABCDABCD có hai đỉnh A,BA,B nằm trên (S1);(S1); hai đỉnh C,DC,D nằm trên (S2).(S2). Thể tích khối tứ diện ABCDABCD có giá trị lớn nhất bằng A. 3√2.32. B. 2√3.23. C. 6√3.63. D. 6√2.62. Giải. Gọi a,ba,b lần lượt là khoảng cách từ tâm II đến hai đường thẳng AB,CD.AB,CD. Ta có AB=2√R21−a2=2√4−a2;CD=2√R22−b2=2√10−b2AB=2R12−a2=24−a2;CD=2R22−b2=210−b2 và d(AB,CD)≤d(I,AB)+d(I,CD)=a+bd(AB,CD)≤d(I,AB)+d(I,CD)=a+b và sin(AB,CD)≤1.sin⁡(AB,CD)≤1. Do đó áp dụng công thức tính thể tích tứ diện theo khoảng cách chéo nhau của cặp cạnh đối diện có: VABCD=16AB.CD.d(AB,CD).sin(AB,CD)⩽23(a+b)√4−a2√10−b2=23(a√4−a2√10−b2+b√10−b2√4−a2)=23(√4a2−a4√10−b2+√10b2−b42√8−2a2)⩽23√(4a2−a4+8−2a2)(10−b2+10b2−b42)=23√(−(a2−1)2+9)(−12(b2−4)2+18)⩽23√9.18=6√2.VABCD=16AB.CD.d(AB,CD).sin⁡(AB,CD)⩽23(a+b)4−a210−b2=23(a4−a210−b2+b10−b24−a2)=23(4a2−a410−b2+10b2−b428−2a2)⩽23(4a2−a4+8−2a2)(10−b2+10b2−b42)=23(−(a2−1)2+9)(−12(b2−4)2+18)⩽239.18=62. Dấu bằng đạt tại (a;b)=(1;2).(a;b)=(1;2). Chọn đáp án D. Ví dụ 3: Cho một hình trụ có thiết diện qua trục là một hình vuông cạnh bằng a.a. Biết rằng ABAB và CDCD là hai đường kính tương ứng của hai đáy và góc giữa hai đường thẳng ABAB và CDCD bằng 30∘.30∘. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.ABCD. A. a312.a312. B. a3√36.a336. C. a36.a36. D. a3√312.a3312. Có h=2r=a;VABCD=16AB.CD.d(AB,CD).sin(AB,CD)=13.2r.2r.h.sin300=a36.h=2r=a;VABCD=16AB.CD.d(AB,CD).sin⁡(AB,CD)=13.2r.2r.h.sin⁡300=a36. Chọn đáp án C.

Công thức 5: Khối tứ diện biết diện tích hai mặt kề nhau

Ví dụ 1: Cho khối chóp S.ABCS.ABC có đáy ABCABC là tam giác vuông cân tại A,AB=a,ˆSBA=ˆSCA=90∘,A,AB=a,SBA^=SCA^=90∘, góc giữa hai mặt phẳng (SAB)(SAB) và (SAC)(SAC) bằng 60∘.60∘. Thể tích của khối chóp đã cho bằng A. a3.a3. B. a33.a33. C. a32.a32. D. a36.a36. Lời giải chi tiết. Gọi H=h/c(S,(ABC))H=h/c(S,(ABC)) ta có {AB⊥SBAB⊥SH⇒AB⊥(SBH)⇒AB⊥BH;{AC⊥SCAC⊥SH⇒AC⊥(SCH)⇒AC⊥CH.{AB⊥SBAB⊥SH⇒AB⊥(SBH)⇒AB⊥BH;{AC⊥SCAC⊥SH⇒AC⊥(SCH)⇒AC⊥CH. Kết hợp với ABCABC là tam giác vuông cân tại A,AB=aA,AB=a suy ra ABHCABHC là hình vuông.

Mặt khác VS.ABC=2SSAB.SSAC.sin((SAB),(SAC))3SA=2(a√a2+h22)(a√a2+h22)√323√2a2+h2(2).VS.ABC=2SSAB.SSAC.sin⁡((SAB),(SAC))3SA=2(aa2+h22)(aa2+h22)3232a2+h2(2). Từ (1) và (2) suy ra h=a⇒V=a36.h=a⇒V=a36. Chọn đáp án D. Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCDABCD có ˆABC=ˆBCD=ˆCDA=900,BC=a,CD=2a,cos((ABC),(ACD))=√13065.ABC^=BCD^=CDA^=900,BC=a,CD=2a,cos⁡((ABC),(ACD))=13065. Thể tích khối tứ diện ABCDABCD bằng A. a33.a33. B. a3.a3. C. 2a33.2a33. D. 3a3.3a3. Lời giải chi tiết. Gọi H=h/c(A,(BCD)).H=h/c(A,(BCD)). Đặt AH=h⇒VABCD=13SBCD.AH=13.12CB.CD.AH=a2h3(1).AH=h⇒VABCD=13SBCD.AH=13.12CB.CD.AH=a2h3(1).

Ta có {CB⊥BACB⊥AH⇒CB⊥(ABH)⇒CB⊥HB.{CB⊥BACB⊥AH⇒CB⊥(ABH)⇒CB⊥HB. Tương tự {CD⊥DACD⊥AH⇒CD⊥(ADH)⇒CD⊥HD.{CD⊥DACD⊥AH⇒CD⊥(ADH)⇒CD⊥HD. Kết hợp với ˆBCD=900⇒HBCDBCD^=900⇒HBCD là hình chữ nhật. Suy ra AB=√AH2+HB2=√h2+4a2,AD=√AH2+HD2=√h2+a2;AC=√AB2+BC2=√h2+5a2.AB=AH2+HB2=h2+4a2,AD=AH2+HD2=h2+a2;AC=AB2+BC2=h2+5a2. Suy ra SABC=12AB.BC=a√h2+4a22;SACD=12AD.DC=a√h2+a2.SABC=12AB.BC=ah2+4a22;SACD=12AD.DC=ah2+a2. Suy ra VABCD=2SABC.SACD.sin((ABC),(ACD))3AC=a2√h2+4a2√h2+a23√h2+5a2√1−(√13065)2(2).VABCD=2SABC.SACD.sin⁡((ABC),(ACD))3AC=a2h2+4a2h2+a23h2+5a21−(13065)2(2). Kết hợp (1), (2) suy ra: h=3a⇒VABCD=a3.h=3a⇒VABCD=a3. Chọn đáp án B. Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a,ˆABC=1200.a,ABC^=1200. Cạnh bên SASA vuông góc với đáy và góc giữa hai mặt phẳng (SBC),(SCD)(SBC),(SCD) bằng 600,600, khi đó SASA bằng A. √6a4.6a4. B. √6a.6a. C. √6a2.6a2. D. √3a2.3a2. Có SA=x>0⇒VS.BCD=13SBCD.SA=√3x12(1),(a=1).SA=x>0⇒VS.BCD=13SBCD.SA=3x12(1),(a=1).

Mặt khác VS.BCD=2SSBC.SSCD.sin((SBC),(SCD))3SC=2(√4x2+34)2√323√x2+3(2).VS.BCD=2SSBC.SSCD.sin⁡((SBC),(SCD))3SC=2(4x2+34)2323x2+3(2). Trong đó BC=1,SB=√x2+1,SC=√x2+3⇒SSBC=√4x2+34;ΔSBC=ΔSDC(c−c−c)⇒SSCD=√4x2+34.BC=1,SB=x2+1,SC=x2+3⇒SSBC=4x2+34;ΔSBC=ΔSDC(c−c−c)⇒SSCD=4x2+34. Từ (1) và (2) suy ra x=√64.x=64. Chọn đáp án A. Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCDABCD có ABCABC và ABDABD là tam giác đều cạnh bằng a.a. Thể tích khối tứ diện ABCDABCD có giá trị lớn nhất bằng A. a38.a38. B. a3√212.a3212. C. a3√38.a338. D. a3√312.a3312. Có VABCD=2SABCSABDsin((ABC),(ABD))3AB=2(√3a24)(√3a24)3asin((ABC),(ABD))≤2(√3a24)(√3a24)3a=a38.VABCD=2SABCSABDsin⁡((ABC),(ABD))3AB=2(3a24)(3a24)3asin⁡((ABC),(ABD))≤2(3a24)(3a24)3a=a38. Dấu bằng đạt tại (ABC)⊥(ABD).(ABC)⊥(ABD). Chọn đáp án A.

Công thức 6:Mở rộng cho khối chóp có diện tích mặt bên và mặt đáy

Khối chóp S.A1A2...AnS.A1A2...An có V=2SSA1A2.SA1A2...An.sin((SA1A2),(A1A2...An))3A1A2.V=2SSA1A2.SA1A2...An.sin⁡((SA1A2),(A1A2...An))3A1A2.

Công thức 7: Khối tứ diện khi biết các góc tại cùng một đỉnh

Khối chóp S.ABCS.ABC có SA=a,SB=b,SC=c,ˆBSC=α,ˆCSA=β,ˆASA=γ.SA=a,SB=b,SC=c,BSC^=α,CSA^=β,ASA^=γ. Khi đó V=abc6√1+2cosαcosβcosγ−cos2α−cos2β−cos2γ.V=abc61+2cos⁡αcos⁡βcos⁡γ−cos2α−cos2β−cos2γ.

  Ví dụ 1: Khối tứ diện ABCDABCD có n AB=5,CD=√10,AC=2√2,BD=3√3,AD=√22,BC=√13AB=5,CD=10,AC=22,BD=33,AD=22,BC=13 có thể tích bằng A. 20.20. B. 5.5. C. 15.15. D. 10.10. Giải. Tứ diện này có độ dài tất cả các cạnh ta tính các góc tại một đỉnh rồi áp dụng công thức thể tích khối tứ diện dựa trên 3 góc xuất phát từ cùng 1 đỉnh: Có ⎧⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩cosˆBAD=AB2+AD2−BD22AB.AD=√211cosˆDAC=AD2+AC2−CD22AD.AC=52√11cosˆCAB=AC2+AB2−BC22AC.AB=1√2.{cos⁡BAD^=AB2+AD2−BD22AB.AD=211cos⁡DAC^=AD2+AC2−CD22AD.AC=5211cos⁡CAB^=AC2+AB2−BC22AC.AB=12. Vì vậy VABCD=16.5.2√2.√22 ⎷1+2√21152√111√2−(√211)2−(52√11)2−(1√2)2=5. A. √95a3.95a3. B. 8√95a3.895a3. C. 2√95a3.295a3. D. 4√95a3.495a3. Giải. Áp dụng công thức tính thể tích khối tứ diện gần đều có VABCD=√212√(52+62−72)(62+72−52)(72+52−62)a3=2√95a3.VABCD=212(52+62−72)(62+72−52)(72+52−62)a3=295a3. Chọn đáp án C. [external_footer] Một số từ khóa tìm kiếm liên quan:

• Thể tích khối tứ diện đều cạnh a
• Công thức tính thể tích tứ diện vuông
• Công thức tính thể tích khối chóp
• Công thức tính nhanh thể tích khối chóp đều
• 5 công thức vi điều tính thể tích
• Khối tứ diện có khoảng cách và góc giữa cặp cạnh đối diện của tứ diện